Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

978-5-7996-1814-8_2016

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

5.3. Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом

Задачи для самостоятельного решения

1. Разложить в ряд Фурье функцию

				м-2,			- p < x < 0,
			f (x) = н		3,		0 Ј x < p.
				о
Ответ. f (x) =	1	+	10	ж		1	sin3x +	1	sin5x +	1	ц
	2		p	з sin x +		3		5		7	sin7x + ...ч.
				и							ш

2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = 5x -1 на интерва-

ле (	-5;5 .
ле (	)
		50	Ґ	n+1	sin pnx.
Ответ. f (x) = -1+		50	е	(-1)
Ответ. f (x) = -1+		p	е	n
		p	n=1	n	5

3. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) = x на интервале

(	-1;1 .
(	)						(
		1	4		Ґ	cos		2n -1 px
	Ответ. f (x) =	1	4		е				)
		2	-							.
		2	-	p2		(		)	2	.
					n=1		2n -1

4.РазложитьврядФурьепокосинусамфункцию f (x) = 12 x2 + 3 на интервале (0;p).

Ответ. f (x) = 3 +	p2	Ґ	n cosnx
	6	+ 2е(-1)		n	2 .
		n=1

5. Разложить в ряд Фурье по синусам функцию f (x) = x sin x на интервале (0;p).

	p	8	Ґ		n
Ответ. f (x) = -	2 sin x - p		еn=1				sin2nx.
Ответ. f (x) = -	2 sin x - p		еn=1	(	4n2 -1	2	sin2nx.
				(	)

6. Решение типового варианта расчетной работы

Задача 1. Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряды:


a)	1	+	3	+		5		+	7		,
	2		2			3			4
			2			2			2
б) -			2		+	4				-		6	+	8	- .

		12 +1					22 +1					32 +1		42 +1

Решение

а) Найдем общий член ряда. Числители образуют арифметическую прогрессию

1,3,5,7,....

n й член прогрессии находится по формуле an = a1 + d(n -1). Здесь a1 =1, d = 2, поэтому an = 2n -1. Знаменатели образуют геометрическую прогрессию

2,22,23,24,....

n й член данной прогрессии находится по формуле bn = b1qn-1. Здесь b1 = 2, q = 2, поэтому bn = 2n. Следовательно, общий член ряда будет иметь вид

un = an = 2n -1.

bn 2n

Ряд знакоположительный. Исследуем его на сходимость. Используем признак Даламбера:

6. Решение типового варианта расчетной работы

2(n +1)-1

2n +1 1

lim

= lim

2n+1

2n -1

(2n -1) 2

n®Ґ

Так как 12 <1, ряд сходится.

б) Найдем общий член ряда. Числители образуют арифметическую прогрессию

2, 4, 6, 8, ....

n й член прогрессии находится по формуле an = a1 + d(n -1). Здесь a1 = 2, d = 2, поэтому an = 2n. Закономерность в знаменате-

ле очевидна n	. Общий член ряда будет иметь вид
b	= n2 +1
		a			2n		.
	un = (-1)n	n	= (-1)n
	un = (-1)n		= (-1)n	n	2
		b		n		+1
		n

Ряд знакочередующийся. Исследуем его на абсолютную сходимость. Используем признак Лейбница. Проверим условия (1.19) и (1.20):

1) un > un+1;

2) lim 2n = 0.

n®Ґ n2 +1

Так как оба условия выполняются, то ряд сходится. Составим ряд из абсолютных величин

zn = n22n+1.

Исследуем данный числовой ряд на сходимость. Используем интегральный признак Коши

Ґ 2xdx				2		Ґ
Ґ 2xdx				2		Ґ
т			= ln(x		+1)		= Ґ.
	x2	+1	= ln(x		+1)	1	= Ґ.
	x2	+1				1
1

Интеграл расходится. Следовательно, данный по условию ряд сходится условно.

6. Решение типового варианта расчетной работы

Задача 2. Вычислить сумму ряда:

1	+	1	+	1	+ .
1Ч4		4Ч7		7Ч10

Решение

Найдем общий член ряда. Разложим знаменатель на две арифметические прогрессии

1,4,7,... и 4,7,10,....

Общий член ряда будет иметь вид

un =	1	.
	(3n - 2)(3n +1)

Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:

	1	=		A		+			B	.
(3n - 2)(3n +1)		=	3n - 2			+		3n +1		.
(3n - 2)(3n +1)			3n - 2					3n +1
Вычислим коэффициенты А и В:
	1= A(3n +1)+ B(3n - 2),
				м	= -		1		,
	м3A + 3B = 0,			пB	= -		3		,
	м3A + 3B = 0,			п			3
	н			н		1
	оA - 2B =1;			п	=	1	;
				пA	=	3	;
				о		3

											1					=	1 ж		1		-		1		ц
																	з								ч.
							(3n - 2)(3n +							1)			з		3n - 2				3n		ч.
							(3n - 2)(3n +							1)			3 и		3n - 2				3n	+1ш
Составим n ю частичную сумму ряда:
	1	ж		1		1			1		1		1						1				1		ц	1 ж			1 ц
Sn =		з1	-		+			-		+		-			+ ...+					-					ч =		з1	-		ч.
Sn =	3	з1	-	4	+	4		-	7	+	7	-	10		+ ...+			3n - 2		-		3n +1			ч =	3	з1	-	3n +1	ч.
	3	и		4		4			7		7		10					3n - 2				3n +1			ш	3	и		3n +1	ш

Вычислим предел последовательности частичных сумм:

S = lim	1	ж	-	1	ц	=	1
		з1			ч			.
	3			3n +1			3
n®Ґ		и			ш

6. Решение типового варианта расчетной работы

Задача 3. Найти область сходимости ряда:

x - 4

е (

n=1

Решение

Применяем признак Даламбера:

= lim

(x - 4)2(n+1) 3n n3

| (x

- 4)2 |

lim

n+1

(n +1)3 3n+1(x - 4)2n

n®Ґ

Решим неравенство

(x - 4)2

< 3

4 - 3 < x < 4 + 3

. Получим

Исследуем отдельно точки x = 4 -

3, x = 4 +

Пусть x = 4 ± 3. Получим ряд

Ґ 1

еn=1 n3 ,

который сходится как обобщенный гармонический (p = 3 >1). Таким образом, область сходимости ряда:

[4 - 3;4 + 3].

Задача 4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x:

f (x) = 1-xe2- x2 .

Решение

Воспользуемся разложением ex в ряд Маклорена

ex =1+ x +

+ ...+

+ ..., - Ґ < x < +Ґ.

Заменяя x на -x2, получим

e- x2 = е(-1)n

;

n=0

1- e- x2

= е(-1)n-1

;

n=1

6. Решение типового варианта расчетной работы

1 - e- x2

x2n

=1 -

+ ... + (-1)

+ ... =

(n +1)!

x2n

= е(-1)

, x О(-Ґ;+Ґ).

(n +1)!

n=0

Задача 5. Используя соответствующий ряд, вычислить 3 9 с точностью до 0,001.

Решение

Используем биномиальный ряд

(1+ x)m =1+ mx + m(m -1) x2 + m(m -1)(m - 2) x3 + ...+

2! 3!

+ m...(m - (n -1)) xn + ..., | x |<1. n!

Представим 3 9 следующим образом

39 = 3 8 +1 = 2жз1+ 18 чц3.

иш

Полагая m =

, x =

, получим

ж 1

1 ж 1

цж 1

- 2

-1ч

1 ц

-1чз

1 ц

= 2

з1

и 3

3 и 3

ши 3

- ...ч

1Ч

1Ч2Ч3

8 ш

= 2 +

+ ... .

288

20736

Найдем первый член по модулю, меньший 0,001.

20736

» 0,0002 < 0,001

Так как ряд знакочередующийся, то

| R |<| u |< 0,001

6. Решение типового варианта расчетной работы

Вычисляя слагаемые (второе и третье) с 4 десятичными знаками, получим

3 9 » 2 + 0,0833 - 0,0035 = 2,0798 » 2,080.

Задача 6. Взяв четыре члена разложения в ряд подынтегральной функции, вычислить

0т,5 arctg x dx.

0 x

Оценить погрешность полученного результата.

Решение

Разложим подынтегральную функцию в ряд, воспользовавшись разложением arctg x:

						x3				x5				x7									n-1					x2n-1								.
	arctg x = x -					3		+		5	-		7		+ ...(-1)												2n -1					+		..., -1Ј x Ј1
						3				5			7														2n -1
							arctg x =1-										x2			+		x4			-			x6		+ ...
							arctg x =1-													+					-					+ ...
									x									3			5					7						.
									x									3			5					7
	Вычислим интеграл
			0,5 arctg x							0,5		ж				x2					x4					x6					x	8		ц
			т				dx			= т		з1-							+					-					+				- ...чdx		=
			т		x		dx			= т		з1-			3				+		5			-		7			+		9		- ...чdx		=
			0		x						0	и			3						5					7					9			ш
ж	x3		x5		x7			x9				ц		0,5				1			1					1							1			1
ж	x3		x5		x7			x9				ц		0,5				1			1					1							1			1
= з x -		+		-		+				- ...ч					=				-					+								-			+			- ... .
= з x -	9	+	25	-	49	+		81		- ...ч					=			2	-		72			+		32Ч25						-	128Ч49		+	512Ч	81	- ... .
и	9		25		49			81				ш		0				2			72					32Ч25							128Ч49			512Ч	81
и												ш		0

Если сохранить 4 первых члена, то погрешность от отбрасывания остальных членов ряда будет меньше модуля пятого члена, так как ряд знакочередующийся.

\| R \|<\| u \|=		1	» 0,00002	< 0,0001

4	5	512Ч81		.

6. Решение типового варианта расчетной работы

Слагаемые будем вычислять с 5 десятичными знаками, тогда общая погрешность будет меньше 0,0001.

0т,5 arctg x dx » 0,50000 - 0,01389 + 0,00125 - 0,00016 = 0,4872.

0 x

Задача 7. Найти четыре первых члена (отличных от нуля) разложения в ряд решения дифференциального уравнения

уў = x + x2 + y2, у(0) =1.

Решение

Используем метод последовательного дифференцирования. Пусть искомая функция разложена в ряд Маклорена

	ў		ўў			y	(n)	(0)
y(x) = y(0)+	y (0)	x +	y (0)	x2	+ ...+				xn

1!		2!					n!

Вычислим значения производных yў(0), yўў(0),

yў(x) = x + x2 + y2, yў(0) =1; yўў(x) =1+ 2x + 2yyў, yўў(0) = 3;

yўўў = 2 + 2(yў)2 + 2yyўў, yўўў(0) =10, ... .

+ ....

yўўў(0), ...:

Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим

y(x) =1+ x + 2!3 x2 + 103! x3 + ....

Задача 8. Разложить в ряд Фурье функцию

м	- p		< x < -		p
п0,	- p		< x < -		2	,
п					2
п		p		p
п		p	< x <	p
f (x) = нx,-		2	< x <	2
п		2		2
п		p	< x Ј p.
п0,		2	< x Ј p.
о		2

6. Решение типового варианта расчетной работы

Решение

Построим график функции f (x) с ее периодическим продолжением (рис. 7.1).

-3p -2p O 2p 3p x

Рис. 7.1

Заданная функция является нечетной. Поэтому коэффициенты an при косинусах равны нулю и разложение в ряд Фурье

будет содержать только синусы. Найдем коэффициенты bn по формуле (5.14)

bn = 2 тp f (x)sinnxdx = p 0

ж p/2

2 й

ж np ц

ж np

x sinnxdx +

0sinnxdx ч

Чcos

sin

p/2

и 2

Учитывая, что

ж np ц

м0, если n - нечетное число,

cosз

2 ш

п(-1)2 , если n - четное число;

ж np ц

n-1

если n - нечетное число,

sinз

н(-1)

2 ш

п0, если n - четное число.

Получаем окончательно: для нечетных n

n-1

bn =

(-1) 2 ,

цчъщ. шы

6. Решение типового варианта расчетной работы

а для четных n

										n
					bn = -			1 (-1)2 .
Поэтому								n
Поэтому	2	ж sin x				sin3x				sin5x			sin7x		ц
f (x) =	2	ж sin x			-	sin3x			+	sin5x		-	sin7x		ц	+
f (x) =	p	з		2	-	2			+	2		-	2		+ ...ч	+
	p	и	1			3				5			7		ш
ж sin2x				-	sin4x		+		sin6x		-	sin8x			ц
+ з		2		-		4	+			6	-		8	+ ...ч.
и		2				4				6			8		ш

В точке разрыва x = p2 сумма ряда равна среднему арифметическому значений односторонних пределов функции

ж p

- 0

ж p

+ 0

f з

+ f з

4 .

Задача 9. Разложить в ряд Фурье по косинусам кратных дуг функцию

м0,3, 0 < x < 0,5, f (x) = н

о-0,3, 0,5 < x <1.

Решение

Чтобы получить разложение данной функции в ряд Фурье, содержащей только косинусы, продолжим ее на соседний слева промежуток (-1;0] четным образом (рис. 7.2). Тогда коэффи-

циенты bn будут равны нулю.

-1	-0,5	O	0,5	1	x

Рис. 7.2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 129 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
28.06.20221.38 Mб601431.pdf
#
28.06.20221.91 Mб8978-5-7996-1814-8_2016.pdf
#
28.06.2022378.64 Кб4DiffEq.pdf
#
28.06.2022767.47 Кб3Дифур.pdf
#
11.08.20229.52 Mб4Дифференциальные уравнения1.ppt
#
11.08.2022416.26 Кб6Дифференциальные уравнения5.ppt
#
28.06.20221.06 Mб7ИД Ои.pdf