Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами
y py qy f (x) (1)
p, q – действительные числа
ОБЩЕЕ
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ (1)
yон (x) yоо (x) yчн (x) |
|
yчн (x) - частное решение уравнения (1) |
|
yоо (x) -общее решение соответствующего |
|
однородного уравнения (2) |
|
y py qy 0 |
(2) |
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами
МЕТОД ВАРИАЦИИ ПОСТОЯННОЙ
Построение решения уравнения (2) рассмотрено ранее
Пусть y1 (x), y2 (x) - ФСР уравнения (2)
yчн (x) с1 (x) y1 (x) с2 (x) y2 (x) (3)
с1 (x), с2 (x) - неизвестные функции
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами
Подставим решение вида yчн с1 y1 с2 y2
в уравнение (1)
Для этого предварительно вычислим
производную этого решения
yчн (с1 y1 с2 y2 ) (с1 y1 с2 y2 )
Потребуем дополнительно с1 y1 с2 y2 0 (4)
yчн с1 y1 с2 y2
yчн с1 y1 с1 y1 с2 y2 с2 y2
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами
Подставим yчн , yчн , yчн в уравнение (1)
(y1 py1 qy1 )с1 ( y2 py2 qy2 )с2
с1 y1 с2 y2 f (x)
Так как y1 (x), y2 (x)- решения уравнения (2),
то выражения в скобках равны нулю
с1 y1 с2 y2 f (x) (5)
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами
Объединим условия (4) и (5) в одну систему
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
y2 |
0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
с1 y1 |
|
(6) |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
f (x) |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
с1 |
y1 с2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
Решением системы (6) является: |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
y f (x) |
|
|
||
|
с1 (x) W (2y , y |
) |
dx с2 (x) W (1y , y |
) |
dx |
||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Найденные выражения c1(x) и c2(x) подставим в (3)
Пример
y y 6e2 x
yон (x) yоо (x) yчн (x)
НАЙДЕМ ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ СООТВЕТСТВУЮЩЕГО ОДНОРОДНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
|
|
yоо (x) ? |
|
|
2 |
y y 0 |
|
||
1 0 1 |
||||
|
e x , ex - ФСР |
|
||
y |
оо |
(x) c e x |
c |
ex |
|
1 |
2 |
|
|
Пример
НАЙДЕМ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ НЕОДНОРОДНОГО |
yчн (x) |
? |
|
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ |
|||
|
|
y |
чн |
(x) c (x)e x c |
2 |
(x)ex |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
x |
c |
|
|
x |
0 |
c1 |
e |
3 x |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
c e |
|
2 |
e |
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3e |
|||||
|
x |
|
|
x |
|
6e |
2 x c2 |
|
||||||||
c1 e |
|
|
c2 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
yчн (x) e3 xe x 3exex 2e2 x
yон (x) c1e x c2ex 2ex
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами
МЕТОД НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
y py qy f (x) (1)
p, q – действительные числа
f (x) e x (Pn (x) cos x Qm (x)sin x) (7)
, - заданные постоянные
Pn (x),Qm (x) - многочлены степени n и m соответственно, зависящие от x
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-ого порядка с постоянными коэффициентами
yчн (x) xre x (Al (x) cos x Bl (x)sin x)(8)
r - показатель кратности корня i
характеристического уравнения 2 p q 0
Al (x), Bl (x) - многочлены степениl max m, n
зависящие от x с неопределенными коэффициентами A0 , A1,..., Al , B0 , B1,..., Bl
A (x) A xl A xl 1 |
A xl 2 |
... A |
||
Bl |
(x) B0 xl B1xl 1 |
B2 xl 2 |
... Bl |
|
l |
0 |
1 |
2 |
l |