978-5-7996-1814-8_2016

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

или

un+1 > un,

то есть члены ряда возрастают с увеличением номера n. Поэтому

limun № 0,

n®Ґ

Ґ

значит ряд еun расходится.

n=1

Замечание

Если l =1, то ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ n5

еn=1 2n .

Решение

Вычислим предел

Так как 12 <1, то по признаку Даламбера данный по условию ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ n!

еn=1 5n .

Решение

Вычислим предел

19

1. Числовые ряды

Так как предел равен бесконечности, то по признаку Даламбера данный по условию ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд, используя признак Даламбера:

Ґ 1

еn=1 n + 2.

Решение

Вычислим предел

Так как предел равен 1, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.

Радикальный признак Коши

Ґ

Теорема. Пусть дан ряда еun с положительными членами

n=1

исуществует конечный или бесконечный предел

lim n un = l .

n®Ґ

Тогда ряд сходится при l <1 и расходится при l >1.

Доказательство

Так как lim n un = l , то по определению предела — для любо-

n®Ґ

го e > 0 существует номер N такой, что для всех n > N будет выполняться неравенство

n un - l < e

или

20

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Пусть l <1. Можно подобрать e так, что l + e <1. Обозначим l + e = q,q <1. Тогда из правой части неравенства (1.14) имеем

Ряд (1.16) сходится, так как его члены образуют бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Члены ряда (1.15), начиная с uN , меньше членов ряда (1.16).

Ґ

В силу свойства числовых рядов и признака сравнения ряд еun сходится. n=1

Пусть l >1. Начиная с некоторого номера n = N , будем иметь

n un >1

или

un >1,

то есть все члены рассматриваемого ряда, начиная с uN , боль-

Ґ

ше 1. Тогда ряд еun расходится, так как его общий член не стре-

n=1

мится к нулю.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Вычислим предел

21

1. Числовые ряды

Так как 13 <1, то по радикальному признаку Коши данный по условию ряд сходится.

Интегральный признак сходимости Коши

Ґ

Теорема. Пусть члены ряда еun положительны и не возрас-

n=1

тают, то есть

u1 і u2 і u3 і ...,

и пусть f (x) — такая непрерывная невозрастающая функция, что

f (1) = u1, f (2) = u2, f (n) = un. Тогда справедливы следующие утверждения:

Доказательство

Изобразим члены ряда геометрически (рис. 1.1).

y

y = f (x)

Рис. 1.1

22

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 1.1:

Ґ

1. Пусть несобственный интеграл т f (x)dx сходится.

1

Тогда существует предел

n

lim т f (x)dx = A.

n®Ґ 1

Так как

23

0 < Sn < M, n =1, 2, ...

Последовательность {Sn } ограничена и при возрастании n суммаSn возрастает. Поэтому последовательность имеет предел

limSn = S.

n®Ґ

Ґ

Следовательно, ряд е f (n) сходится.

n=1

Ґ

2. Пусть несобственный интеграл т f (x)dx расходится.

следует, что

limSn = +Ґ,

n®Ґ

Ґ

то есть ряд е f (n) расходится.

n=1

Замечание

Ґ

Вместо интеграла т f (x)dx можно брать интеграл

1

+Ґ

т f (x)dx , k >1, k О .

k

24

1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

следовательно, интеграл сходится, значит и ряд сходится.

Обобщенный гармонический ряд

Ряд вида

называется обобщенным гармоническим рядом.

Исследуем его на сходимость, используя интегральный признак Коши.

2.Если p <1, то ряд расходится, так какт dx = Ґ.

1 x p

Ґdx

3.Если p =1, то ряд расходится, так как т x p = Ґ.Ґ

1

1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Знакочередующийся ряд — это ряд вида

n=1

где un > 0 "nО .

25

1. Числовые ряды

Теорема Лейбница (признак Лейбница)

Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает:

При этом сумма S ряда: 0 < S < a.

Доказательство

Рассмотрим сумму n = 2m первых членов ряда (1.18):

S2m = (u1 - u2 )+ (u3 - u4 )+ ...+ (u2m-1 - u2m ).

Из (1.19) следует, что выражение в каждой скобке положительно, значит S2m — положительна (S2m > 0) и возрастает с уве-

личением m.

Запишем эту же сумму по-другому:

S2m = u1 - (u2 - u3 )- (u4 - u5 )- ...- (u2m-2 - u2m-1)- u2m.

В силу (1.19) каждая из скобок положительна, поэтому в результате вычитания этих скобок из и1 мы получим число, меньшее чем и1, то есть

S2m < u1.

Таким образом, S2m при увеличении m возрастает и ограничена сверху, следовательно, S2m имеет предел

limS2m = S, 0 < S < u1.

n®Ґ

Мы доказали, что последовательность «четных» частичных сумм имеет предел S.

26

1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу S.

Рассмотрим сумму n = 2m +1 первых членов ряда (1.18):

= S2m + u2m+1.

Так как по условию

Итак, последовательность «нечетных» частичных сумм имеет предел S.

Таким образом, ряд (1.18) сходится.

Замечания

1.Теорема Лейбница справедлива, если неравенства (1.19) выполняются, начиная с некоторого номера N.

2.Теорема Лейбница геометрически иллюстрируется следующим образом. Будем на числовой прямой откладывать частичные суммы:

S1 = u1, S2 = u1 - u2 = S1 - u2, S3 = S2 + u3, S4 = S3 - u4, S5 = S4 + u5,....

Точки, соответствующие частичным суммам, будут приближаться к некоторой точке S, которая изображает сумму ряда.

3. Оценка ошибки.

Заменим S частичной суммой Sn. Оценим ошибку, которую

мы допускаем при данной замене.

Отброшенный ряд (остаток) представляет собой знакочередующийся ряд

(-1)n+1(un+1 - un+2 + ...),

сумма которого по абсолютной величине меньше первого члена этого ряда (то есть меньше un+1).

27

1. Числовые ряды

Значит, ошибка, совершаемая при замене S наSn, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов.

Пример. Проверить, что знакочередующийся ряд сходится и вычислить его сумму с точностью до 0,01:

14 - 412 + 413 - 414 + ...(-1)n+1 41n + ...

Решение

Проверим условия (1.19) и (1.20): 1) un > un+1;

2) lim 1n = 0.

n®Ґ 4

Так как оба условия выполняются, то ряд сходится. Четвертый член ряда будет первым, меньшим 0,01:

a4 = 2561 » 0,003 < 0,01.

Поэтому, для выполнения заданной точности достаточно взять первых три слагаемых:

S= 14 - 412 + 413 » 0,203 » 0,20.

1.4.Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость

Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные так и отрицательные члены.

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

28