978-5-7996-1814-8_2016

1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости

Пределы в левой и правой части данного равенства одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1.2) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд вида

Ґ

un+1 + un+2 + ... = е uk

k =n+1

называется n м остатком ряда (1.2), который получается из ряда (1.2) отбрасыванием его n первых членов.

Согласно свойству 3:

1)ряд (1.2) и его остаток одновременно либо сходятся, либо расходятся;

2)если ряд (1.2) сходится, то его остаток rn при n ® Ґ стремится к нулю, то есть

limrn = 0.

n®Ґ

Ряд геометрической прогрессии

Ряд вида

называется рядом геометрической прогрессии.

Исследуем данный ряд на сходимость.

Сумма первых n первых членов прогрессии находится по формуле

Найдем предел этой суммы:

9

1. Числовые ряды

расходится.

3. Если q =1, получаем ряд a + a + a + ..., который расходится,

так как Sn = nЧa, limSn = Ґ.

n®Ґ

Если q = -1, получаем ряд a - a + a - a + ..., который расходит-

ся, так как limSn не существует.

n®Ґ

Ряд (1.6) при q =1 расходится.

Таким образом, ряд (1.6) сходится при q <1 и расходится при

Решение

Данный ряд представляет собой ряд геометрической про-

Необходимый признак сходимости

Теорема. Если ряд сходится, то его общий член un стремится к нулю при n ® Ґ, то есть

limun = 0.

n®Ґ

10

1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости

Доказательство

limSn-1 = S при n ® Ґ и(n -1) ® Ґ. Учитывая, чтоun = Sn - Sn-1 при

n®Ґ

Следствие (достаточное условие расходимости ряда)

Если limun № 0 или не существует, то ряд расходится.

n®Ґ

Доказательство

Если бы ряд сходился, то по теореме limun = 0, но это проти-

n®Ґ

воречит условию, поэтому ряд расходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ 2n - 3 еn=1 5n +1.

Решение

Данный ряд расходится, так как выполняется достаточное условие расходимости ряда:

Гармонический ряд

Ряд вида

называется гармоническим рядом. У данного ряда каждый член является средним гармоническим для двух соседних членов.

11

1. Числовые ряды

Гармоническое среднее чисел x1,x2,..xn — число h, обратное

которому есть среднее арифметическое чисел, обратных данным числам:

расходится.

Доказательство

Рассмотрим два ряда

1+ 12 + 13 + 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 101 + 111 + 121 + 131 + 141 + 151 + 161 + 171 + ... (а)

1+ 12 + 14 + 14 + 18 + 18 + 18 + 18 + 161 + 161 + 161 + 161 + 161 + 161 + 161 + 161 + ... (б)

Пусть Sn(1) — сумма n первых членов гармонического ряда (а), Sn(2) — сумма n первых членов ряда (б).

Так как каждый член ряда (а) больше соответствующего члена ряда (б) или равен ему, то для n > 2 получаем

Подсчитаем частичные суммы ряда (б) для значений n, равных 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27:

S2 =1+ 12 = 32,

12

Из соотношения (1.7) следует, что и limS(а) = Ґ, то есть гар-

n®Ґ n

монический ряд расходится.

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Признаки сравнения

Теорема 1

Пусть даны два знакоположительных ряда:

n=1

13

1)если сходится ряд (1.9), то сходится и ряд (1.8);

2)ели расходится ряд (1.8), то расходится и ряд (1.9).

Доказательство

ПустьSn(u)иSn(n) — n е частичные суммы рядов (1.8) и (1.9) соответственно. Из (1.10) следует, что

1. Докажем, что если сходится ряд (1.9), то сходится и ряд (1.8). Пусть ряд (1.9) сходится и его сумма равна S2. Тогда

limS(n) = S .

n®Ґ n 2

Члены ряда (1.9) положительны, поэтому

Sn(n) < S2,

а с учетом неравенства (1.11):

Sn(u) < S2.

Таким образом, последовательностьS1(u),S2(u),...,Sn(u) монотонно возрастает и ограничена сверху числом S2.

По признаку существования предела последовательности,

сходится.

Пусть теперь ряд (1.8) расходится. Так как члены ряда неотрицательны, то

limS(u) = Ґ.

n®Ґ n

Тогда с учетом неравенства (1.11):

limS(v) = Ґ,

n®Ґ n

то есть ряд (1.9) расходится.

14

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Замечание

Теорема 1 справедлива и в том случае, когда неравенство (1.10) выполняется не для всех членов ряда (1.8) и (1.9), а начиная с некоторого номера.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Ґ 1

еn=1 3n + 4.

Решение

Сравним данный ряд с рядом

Ґ 1

еn=1 3n ,

который сходится (ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии).

Так как

то по Теореме 1 данный по условию ряд сходится.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

еҐ 1 .

n=1 n

Решение

Сравним данный ряд с рядом

Ґ 1,

еn=1 n

который расходится (гармонический ряд).

Так как, начиная со второго элемента, выполняется неравенство

1n > n1 ,

то по Теореме 1 данный по условию ряд расходится.

15

1. Числовые ряды

Теорема 2 (предельный признак сравнения)

Пусть даны два знакоположительных ряда (1.8) и (1.9). Если существует конечный, отличный от нуля предел

lim un = A (0 < A < Ґ),

n®Ґ vn

то ряды (1.8) и (1.9) сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство

По определению предела последовательности для всехn, кроме, возможно, их конечного числа, для любого e > 0:

Если ряд (1.8) сходится, то из левого неравенства (1.12)

Ґ

и Теоремы 1 вытекает, что ряд е(A - e)vn также сходится.

n=1

Тогда, согласно свойству числовых рядов, ряд (1.9) также сходится.

Если ряд (1.8) расходится, то из правого неравенства (1.12), Теоремы 1 и свойства числовых рядов ряд (1.9) также расходится.

Аналогично, если ряд (1.9) сходится (расходится), то будет сходиться (расходиться) и ряд (1.8).

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение

Сравним данный ряд с рядом

Ґ 1,

еn=1 n

который расходится (гармонический ряд). Вычислим предел

16

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами

Таким образом, данный по условию ряд расходится.

Признак Даламбера

Ґ

Теорема. Пусть дан ряда еun с положительными членами

n=1

исуществует конечный или бесконечный предел

lim un+1 = l .

n®Ґ un

Тогда ряд сходится при l <1 и расходится при l >1.

Доказательство

Так как lim un+1 = l , то по определению предела для любого

n®Ґ un

e > 0 существует номер N такой, что для всех n > N будет выполняться неравенство

l + e <1.

Обозначим l + e = q, q <1. Тогда из правой части неравенства

(1.13):

un+1 < q un

17

1. Числовые ряды

или

un+1 < qun, n > N.

В силу свойства числовых рядов (если к ряду прибавить или отбросить конечное число членов, то полученный ряд и исходный сходятся или расходятся одновременно):

un+1 < qun для всех n =1,2,3,...

Построим серию неравенств:

........................

То есть члены ряда

u2 + u3 + u4 + ...+ un + ...

меньше соответствующих членов ряда

qu1 + q2u1 + q3u1 + ...+ qn-1u1 + ...,

который сходится как ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0 < q <1. На основании признака сравнения сходит-

ся ряд u2 + u3 + u4 + ...+ un + ... , следовательно, сходится и исходный ряд.

Пустьl >1. В этом случае lim un+1 = l >1. Тогда с некоторого но-

n®Ґ un

мера N будет выполняться неравенство

un+1 >1 un

18