Добавил:

Alister_stud Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Амурский государственный университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

978-5-7996-1814-8_2016

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.06.2022

Размер:

1.91 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

3.4. Разложение функций в степенные ряды

Ряд будет иметь вид

	x3		x5	n-1	x2n-1	+ ... , - Ґ < x < +Ґ. (3.6)
sin x = x -		+		+ ...+ (-1)
	3!		5!		(2n -1)!

2. f (x) = cos x.

Заметим, что cos x = (sin x)ў. Продифференцируем ряд (3.6) и получим

	x2		x4		x6	n-1		x2(n-1)
cos x =1-		+		-		+ ...+ (-1)			+ ..., - Ґ < x < +Ґ.
cos x =1-	2!	+	4!	-	6!	+ ...+ (-1)	[	2(n -1) !	+ ..., - Ґ < x < +Ґ.
							[	]

3. f (x) = ex .

Данная функция имеет производные всех порядков на интер-

вале	, где			— любое число, причем							= ex < ea,
	(-a;a)	a > 0								f (n)(x)
	. Так как							, то получаем ряд
(n = 0,1,2,...)				f (n)(0)			= e0 =1
	ex =1+ x +		x2		+	x3	+ ...+	xn	+ ..., - Ґ < x < +Ґ.
			2!					n!
					3!

4. f (x) = arctg x.

Данную функцию можно представить следующим образом

arctg x = тx		dt		.
arctg x = тx	1	+ t	2	.
0	1	+ t
0

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем

	1	=1- t2 + t4 - t6 + ...
1+ t2		=1- t2 + t4 - t6 + ...
1+ t2				.
Тогда
arctg x = тx (1- t2 + t4 - t6 + ...)dt = x -			x3		+	x5	-	x7	+ ... .
arctg x = тx (1- t2 + t4 - t6 + ...)dt = x -					+		-		+ ... .
0		3		5			7
0

3. Степенные ряды

Область сходимости:

-1Ј x Ј1

Итак,

x2n-1

n-1

arctg x = x -

+ ...(-1)

2n -1

+ ..., -1Ј x Ј1

5. f (x) = ln x.

Разложим в ряд по степеням

(x -1)

Заметим, что

= (ln x)ў.

— сумма бесконечно убывающей геометриче-

1+ (x -1)

ской прогрессии со знаменателем

q = -(x -1)

=1- (x -1)+ (x -1)2 - (x -1)3 + ...+ (-1)n (x -1)n + ...

(3.7)

Область сходимости:

<1Ю

x -1

<1Ю 0 < x < 2.

Интегрируем почленно ряд (3.7)

n+1

dt =

(t -1)

- ...+ (-1)n (t -1)

кt - (t -1)

+ ...ъ

т1 t

n +1

Итак,

ln x = (x -1)-

(x -1)2 +

(x -1)3 + ...(-1)n-1

(x -1)n + ..., 0

< x Ј 2

f (x) = ln(x +1)

Заметим, что

(ln(x +1))ў =

=1- x + x2 - x3 + ..., -1< x <1

1+ x

Проинтегрируем

тx

(1- t + t2 - t3 + ...)dt = x

+ ...

t +

3.4. Разложение функций в степенные ряды

Итак,

	x2		x3		x4		n+1	xn		.
ln(x +1) = x -		+		-		+ ...+ (-1)			+ ..., -1
	2		3		4			n		< x Ј1

7. f (x) = (1+ x)m, m — любое действительное число.
Вычислим производные:
			f (x) = (1+ x)m,				(0) =1,
	f ў(x) = m(1+ x)m-1,						f ў(0) = m,
f ўў(x) = m(m -1)(1+ x)m-2,							f (0) = m(m -1),...
f (n)(x) = m(m -1)....(m - (n -1))(1+ x)m-n,							f (n)(0) = m(m -1)...(m - (n -1)).
Составим ряд

(1+ x)m =1+ mx +

m(m -1)

x2 +

m(m -1)(m - 2)

+ ...+

m...(m - (n -1))

xn + ....

Найдем область сходимости по признаку Даламбера

lim

un+1

= lim

m(m -1)...(m - n)xn+1

m(m -1)...(m - (n -1))xn

= lim

x(n - m)

n +1

n®Ґ

(n +1)!

n®Ґ

При

<1 Ю -1< x <1

m і 0

;

при

-1< x <1

;

при

-1< m < 0 -1< x Ј1

m Ј -1

-1< x <1

8. f (x) = shx , f (x) = chx .

sh x =

- e- x

= x +

+ ...+

x2n-1

, - Ґ < x < Ґ.

(2n -1)!

ch x =

ex + e- x

=1+

+ ...+

x2(n-1)

+ ..., - Ґ < x < Ґ.

(2(n -1))!

				3. Степенные ряды
Пример. Разложить функцию		1		в ряд Тейлора
		f (x) =
		f (x) =	x - 5
по степеням	.
	(x - 6)

Решение

Разложить в ряд Тейлора — это значит: 1. Составить формально этот ряд.

2. Найти его область сходимости.

3. Доказать, что для всех x из области сходимости limRn (x) = 0.

n®Ґ

1. Вычислим производные

y =

, y(6) =1,

x -

yў = -

, yў(6) = -1,

(x - 5)2

yўў =

, yўў(6) = 2!,

(x - 5)3

yўўў = -

2Ч3

, yўўў(6) = -3!,

(x - 5)4

y(n)

(-1)n n!

, y(n)(6) = (-1)n n!.

n+1

(x - 5)

Составим формально ряд

-1(x - 6)

+ 2!(x

3!(x - 6)3

=1+

- 6)2 -

+ ... = е(-1)n (x - 6)n .

x - 5

Остаточный член будет иметь вид

Rn (x) = f (n+1)(c)(x - x0 )n+1, c = x0 + q(x - x0 ), 0 < q <1; (n +1)!

R (x) =	(-1)n+1(n +1)!	(x - 6)n+1 =	(-1)n+1(x - 6)n+1	, c = 6 + q(x - 6).
	(c - 5)n+2(n +1)!		(c - 5)n+2
n

3.4.Разложение функций в степенные ряды

2.Найдем область сходимости ряда. Используем признак Даламбера

	u	+1	= lim	(x - 6)n+1	=	x - 6	<1, 5 < x < 7.
lim	n
	u			(x - 6)n
n®Ґ			n®Ґ

	n

Пусть x = 5, тогда получим ряд е(-1)n (-1)n =1+1+ ..., который

n=0

расходится.

Пусть x = 7, тогда получим ряд е(-1)n , который также рас-

n=1

ходится.

Область сходимости ряда:

x О(5;7)

3. Докажем, что для всех

из области сходимости n®Ґ

limR (x) = 0

Для всех x О(5;7) имеем

с - 5 >1,

x - 6

<1,

цn+1

limR = lim

(-1)n+1(x - 6)n+1

= lim

(-1)n+1 ж x - 6

= 0

n+2

c - 5

n®Ґ

(c - 5)

n®Ґ

и c - 5

Итак,

1Ґ

=е(-1)n (x - 6)n, x О(5;7). x - 5 n=0

Задачи для самостоятельного решения

1. Найти область и радиус сходимости степенного ряда

Ґ (x + 2)n

еn=1 nЧ2n-1 .

Ответ. На промежутке [-4;0) заданный ряд сходится, радиус сходимости R = 2.

3. Степенные ряды

2. Найти область и радиус сходимости степенного ряда еxn .

n=1

Ответ. Область сходимости степенного ряда (-1;1), радиус сходимости R =1.

3. Найти область и радиус сходимости степенного ряда Ґ xn .

еn=1 nn

Ответ. Ряд сходится абсолютно в каждой точке числовой прямой (-Ґ;Ґ).

Разложить функцию f (x) = 1+ x2 в степенной ряд с цен-

тром в точке x0 = 0.

-1 n+1 1Ч3Ч5Ч...Ч(2n - 3) x2n .

1+ x2

+ Ґ

Ответ.

е(

)

(2n)!!

n=2

Разложить функцию f (x) = sin2 x в степенной ряд.

-1 n+1 22n-1 Ч x2n .

Ответ. е(

)

(2n)!

n=1

Разложить функцию f (x) = ln(3 - x) в ряд Маклорена.

xn+1

Ответ. ln3 - е

3n+1 Ч

(

n +

n=0

)

4.Приложения степенных рядов

4.1.Приближенные вычисления значений функции

Для вычисления приближенного значения функции f (x) в ее

разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов (n — конечная величина), а остальные члены отбрасывают. Для оценки погрешности найденного приближенного значения нужно оценить сумму отброшенных членов. Если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. В случае знакопеременного ряда, члены которого удовлетворяют признаку Лейбница, используется оценка Rn < un+1 ,

где un+1 — первый из отброшенных членов ряда. Приближенное вычисление значения функции в точке.

Пример. Вычислить cos10 с точностью до 0,0001.

Решение

Используем разложение функции cos x в ряд

n-1

x2(n-1)

+ ..., - Ґ < x < +Ґ.

cos x =1-

+ ...+ (-1)

[

2(n -1)

]

Переведем градусы в радианы

10 Ч

» 0,17453

180

4. Приложения степенных рядов

Подставим в разложение cos x вместо x число 0,17453, получим

cos10 =1-	(0,17453)2	+	(0,17453)4	+ ...

2!		4!		.

Третий член ряда меньше заданной точности, то есть

(0,17453)4 < 0,0001

		.
	4!	.
	4!

Так как ряд знакочередующийся, то

R2 < u3 < 0,0001,

то есть погрешность от отбрасывания всех членов ряда, начиная с третьего, меньше 0,0001.

Таким образом,

cos10 »1- 0,01523;

cos10 » 0,9848.

4.2. Приближенные вычисления определенных интегралов

Ряды применяются для приближенного вычисления неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда первообразная не выражается в конечном виде через элементарные функции, либо нахождение первообразной затруднительно.

	0,25
Пример. Вычислить интеграл J =	т e- x2 dx с точностью
до 0,001.	0
	0

Решение

Используем разложение функции ex в ряд

ex =1+ x + x2 + x3 + ...+ xn + ..., - Ґ < x < +Ґ.

2! 3! n!

4.3. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

Подставим в разложение ex вместо x выражение -x2, получим

e- x2 =1- x2 + x4 - x6 + ..., - Ґ < x < +Ґ.

1! 2! 3!

Вычислим интеграл

0,25	0,25		x	4				x		6											x	3		0,25		x	5	0,25		x	7	0,25
0,25	0,25			4						6												3		0,25			5	0,25			7	0,25
т e- x2 dx = т		(1- x2 +				-					+ ...)dx = x						00,25		-						+				-			+ ... =


		2!					3!													3					10				42
0	0	2!					3!													3				0				0	42			0
0	0				1						1				1									0				0				0
		=			1		-				1		+		1					+ ...
		=			4		-		1!Ч3Ч43				+			2!Ч5Ч45				+ ...
	Так как				4				1!Ч3Ч43							2!Ч5Ч45							.
	Так как										1
											1			< 0,001,

									2!Ч5Ч			5
то									2!Ч5Ч			4
то		0,25
		0,25										1				1							.
			т			e- x2 dx »						1	-			1		=					.
						e- x2 dx »						4	-					=	0,245
		0										4			192
		0

4.3. Решение дифференциальных уравнений с помощью рядов

Если решение дифференциального уравнения не выражается через элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользоваться рядом Тейлора.

Рассмотрим на примерах два метода решения дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Метод неопределенных коэффициентов

Данный метод наиболее удобен для интегрирования линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

4. Приложения степенных рядов

Пример. Найти решение дифференциального уравнения, yў = x2 + y , y(0) =1,

используя метод неопределенных коэффициентов.

Решение

Решение будем искать в виде ряда:

y(x) = c0 + c1x + c2 x2 + c3 x3 + ....

Продифференцируем последнее равенство по x yў(x) = c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + ....

Подставим y(x), yў(x) в данное по условию уравнение и затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x:

c1 + 2c2 x + 3c3 x2 + ... = x2 + c0 + c1x + c2 x2 + c3 x3 + ...,

x0 : c1 = c0, x1 : 2c2 = c1,

x2 :3c3 = c2 +1,

x3 : 4c4 = c3, ... .

Определяем коэффициенты:

c0 = y(0) =1, c1 =1, c2 = 12, c3 = 12, c4 = 18.

Таким образом,

y(x) =1+ x + x2 + x3 + x4 + ....

2 2 8

Метод последовательного дифференцирования

Метод последовательного дифференцирования применим для решения дифференциальных уравнений любого порядка.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 126 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика

#
28.06.20221.38 Mб601431.pdf
#
28.06.20221.91 Mб8978-5-7996-1814-8_2016.pdf
#
28.06.2022378.64 Кб4DiffEq.pdf
#
28.06.2022767.47 Кб3Дифур.pdf
#
11.08.20229.52 Mб4Дифференциальные уравнения1.ppt
#
11.08.2022416.26 Кб6Дифференциальные уравнения5.ppt
#
28.06.20221.06 Mб7ИД Ои.pdf