978-5-7996-1814-8_2016
.pdf
РЯДЫ
Учебное пособие
Министерство образования и науки Российской Федерации Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина
Ряды
Учебное пособие
Рекомендовано методическим советом УрФУ для студентов, обучающихся
по техническим направлениям подготовки и специальностям
Екатеринбург Издательство Уральского университета
2016
УДК 517.518.3(075.8) ББК 22.1я73
Р98
Авторы:
Н. В. Гредасова, Н. И. Желонкина, М. А. Корешникова, Е. Г. Полищук, И. Ю. Андреева
Рецензенты:
кафедра прикладной математики УрГЭУ (завкафедрой, канд. физ.- мат. наук, доц. Ю. Б. Мельников); д р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. ИММ УрО РАН Ю. И. Бердышев
Научный редактор — д р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин
Ряды : учебное пособие / Н. В. Гредасова, Н. И. Желонкина, Р98 М. А. Корешникова, Е. Г. Полищук, И. Ю. Андреева. — Екатерин-
бург : Изд-во Урал. ун-та, 2016. — 116 с.
ISBN 978-5-7996-1814-8
В учебном пособии представлены основные понятия и теоремы теории рядов. Рассмотрены решения типовых задач. Приведены задания к расчетной работе и указания для ее решения.
Предназначается для студентов, обучающихся по техническим направлениям подготовки и специальностям.
Библиогр.: 6 назв. Рис. 9.
УДК 517.518.3(075.8) ББК 22.1я73
ISBN 978-5-7996-1814-8 |
© Уральский федеральный |
|
университет, 2016 |
Оглавление
1. Числовые ряды.............................................................. |
5 |
1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости........ |
5 |
1.2. Достаточные признаки сходимости рядов |
|
с положительными членами................................ |
13 |
1.3. Знакочередующиеся ряды. Признак |
|
Лейбница.............................................................. |
25 |
1.4. Знакопеременные ряды. Абсолютная |
|
и условная сходимость........................................ |
28 |
2. Функциональные ряды................................................ |
34 |
2.1. Определение функционального ряда. |
|
Область сходимости функционального ряда...... |
34 |
2.2. Равномерная сходимость функционального |
|
ряда....................................................................... |
36 |
2.3. Свойства функциональных рядов....................... |
39 |
3. Степенные ряды........................................................... |
41 |
3.1. Определение степенного ряда. Теорема Абеля.... |
41 |
3.2. Методы нахождения интервала сходимости |
|
степенного ряда................................................... |
43 |
3.3. Дифференцирование и интегрирование |
|
степенных рядов.................................................. |
46 |
3.4. Разложение функций в степенные ряды............. |
47 |
3
Оглавление
4. Приложения степенных рядов..................................... |
55 |
4.1. Приближенные вычисления значений |
|
функции............................................................... |
55 |
4.2. Приближенные вычисления |
|
определенных интегралов................................... |
56 |
4.3. Решение дифференциальных уравнений |
|
с помощью рядов................................................. |
57 |
5. Ряды Фурье................................................................. |
61 |
5.1. Тригонометрические ряды. Теорема Дирихле.... |
61 |
5.2. Разложение четных и нечетных функций |
|
в ряд Фурье........................................................... |
67 |
5.3. Разложение в ряд Фурье |
|
функций с произвольным периодом.................. |
71 |
6. Решение типового варианта расчетной работы............ |
80 |
7. Расчетная работа......................................................... |
90 |
Библиографический список............................................ |
115 |
4
1.Числовые ряды
1.1.Основные понятия и теоремы о сходимости
Числовой ряд — это выражение вида
Ґ
еun = u1 + u2 + ...+ un + ...,
n=1
где члены ряда u1,u2,...,un,... — действительные или комплексные числа, un общий член ряда.
Ряд задан, если известен общий член ряда un, выраженный как функция его номера n : un = f (n).
n я частичная сумма ряда — это сумма первых n членов ряда
Sn = u1 + u2 + ...+ un .
Рассмотрим следующие суммы:
S = u , S |
2 |
= u + u , S = u + u + u , |
… |
1 1 |
1 2 3 1 2 3 |
||
Ряд сходится, если существует конечный предел |
|||
|
|
S = limSn |
(1.1) |
|
|
n®Ґ |
|
последовательности частичных сумм ряда. |
|
||
|
|
Ґ |
|
Предел (1.1) называется суммой ряда S = еun . |
|||
|
|
n=1 |
|
Ряд расходится, если limSn не существует или равен беско- |
|
нечности. |
n®Ґ |
|
|
|
5 |
1. Числовые ряды
Примеры
1.Ряд 0 + 0 + 0 +… сходится, его сумма равна нулю (S = 0).
2.Ряд 1 + 1 + 1 +… расходится, его сумма равна бесконечности (S = Ґ).
3.Ряд 1–1+1+… расходится, так как предела частичных сумм не существует.
4. Ряд |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
|
сходится, его сумма |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
+ ...+ |
|
+ ... |
||
1Ч2 |
2Ч3 |
3Ч4 |
n(n +1) |
||||||||
равна единице.
Покажем, что сумма данного ряда равна единице. Разложим общий член ряда на сумму простейших дробей:
1 |
|
= |
A |
+ |
B |
. |
|
n(n +1) |
n |
n +1 |
|||||
|
|
|
|||||
Вычислим коэффициенты А и В:
|
1= An + A + Bn, |
|
|||||
мA + B = 0, мB = -1, |
|||||||
н |
|
н |
|
|
|||
оA =1; |
|
оA =1; |
|
||||
|
1 |
|
= |
1 |
- |
1 |
. |
|
n(n +1) |
|
n +1 |
||||
|
|
n |
|
||||
Составим n ю частичную сумму ряда:
Sn =1- 12 + 12 - 13 + 13 - 14 + ...+ n1 - n1+1 =1- n1+1.
Вычислим предел последовательности частичных сумм:
ж |
- |
1 |
|
ц |
=1. |
|
limз1 |
|
|
ч |
|||
n +1 |
||||||
n®Ґ и |
|
ш |
|
|||
6
1.1. Основные понятия и теоремы о сходимости
Свойства рядов
Свойство 1. Если ряд
|
Ґ |
|
|
|
|
|
еun = u1 + u2 + ...+ un + ... |
(1.2) |
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
сходится и его сумма равна S , то ряд |
|
|
|
|||
Ґ |
|
|
|
|
|
|
е |
cu |
= cu + cu + ...+ cu |
+ ... |
(1.3) |
||
n |
1 |
2 |
n |
, |
||
n=1
где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.2) расходится и c № 0, то и ряд (1.3) расходится.
Доказательство
1. Пусть Sn(u) — n я частичная сумма ряда (1.3). Тогда
S |
(u) = cu + cu + ...+ cu = c(u + u + ...+ u ) = c ЧS |
, |
|||||||
n |
1 |
2 |
n |
|
1 2 |
|
n |
n |
|
|
limS (u) = limc ЧS |
n |
= c limS |
n |
= c ЧS. |
|
|
||
|
n®Ґ |
n |
n®Ґ |
n®Ґ |
|
|
|
||
Так как существует конечный предел частичных сумм, то ряд (1.3) сходится и имеет сумму cS.
2. Покажем, что если ряд (1.2) расходится,c № 0, то и ряд (1.3) расходится.
Допустим противное: ряд (1.3) сходится и имеет сумму S1. Тогда
S = limS (u) = limc ЧS |
n |
= c Ч limS |
, |
||||
1 |
n®Ґ |
n |
n®Ґ |
n®Ґ |
n |
|
|
откуда
S limSn = c1 ,
n®Ґ
т. е. ряд (1.2) сходится, что противоречит условию о расходимости данного ряда.
7
1. Числовые ряды
Свойство 2. Если сходится ряд (1.2) и сходится ряд
Ґ |
|
еvn = v1 + v2 + ...+ vn + ..., |
(1.4) |
n=1
аих суммы соответственно равны S1 и S2, то сходятся и ряды
Ґ |
|
е(un ± vn ), |
(1.5) |
n=1
причем сумма каждого равна S1 ± S2.
Доказательство
Пусть Sn(u),Sn(v),Sn — n е частичные суммы рядов (1.2), (1.4), (1.5) соответственно. Тогда
limSn = lim(Sn(u) ± Sn(v) ) = limSn(u) ± limSn(v) = S1 ± S2, |
|||
n®Ґ |
n®Ґ |
n®Ґ |
n®Ґ |
т. е. каждый из рядов (1.5) сходится и сумма его равна S1 ± S2.
Следствие
Сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.
Замечание
Сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (1.2) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1.2) сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство
Пусть S — сумма отброшенных членов ряда, k — наибольший из этих номеров.
Будем считать, что на место отброшенных членов ряда поставим нули. Тогда приn > k будет выполняться равенствоSn - Snў = S, гдеSnў — n я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1.2) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому
limSn = S + limSnў. |
|
n®Ґ |
n®Ґ |
8