Вычислим компоненты вектора скорости |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a3V (t) |
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
3x2 |
|
|
|
a3V (t) |
2r3 |
|
|||||||
w1 |
= |
;1 |
= |
|
|
|
1 |
2 |
|
+ |
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
+ 3 cos2 # |
(1.88) |
||||||||
|
2r3 |
a3 |
r2 |
|
2r3 |
a3 |
||||||||||||||||||||||
w2 |
= |
;2 |
= |
|
3a3V (t) x1x2 |
= |
|
3a3V (t) |
|
sin # cos # |
|
|
|
(1.89) |
||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
r5 |
|
|
2r3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
v3 = |
;3 = |
3a3V (t) x1x3 |
= |
3a3V (t) x3 |
cos # |
|
|
|
(1.90) |
|||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
r5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
r4 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Радиальная и тангенциальная составляющие вектора скорости в плоскости x1x2 име-
ют вид: |
|
|
1 |
|
cos # ; |
|
|
|
1 + |
|
sin # (1.91) |
wr(r; #) = |
@ |
= V |
a3 |
@' |
|
a3 |
|||||
|
|
v#(r; #) = |
|
= V |
|
||||||
@r |
r3 |
r@# |
2r3 |
||||||||
Отсюда следует, что поверхность сферы является поверхностью тока и на сфере wr = 0, w# = 32V sin #. Все линии тока начинаются и заканчиваются в бесконечности (рис. 7). Поверхности тока являются поверхностями вращения линий тока вокруг оси x1. Точки А и В являются точками торможения. В них скорость материальных точек жидкости равна нулю.
Рис. 7: Линии тока при обтекании неподвижной сферы потоком идеальной несжимаемой жидкости
.
1.5.2Парадокс Даламбера.
Пусть скорость жидкости не зависит от времени, тогда течение является установившимся и вдоль линии тока справедлив интеграл Бернулли
w2 |
|
p |
|
V 2 |
|
p1 |
|
|
%0 |
|
2 |
2 |
|
|
%0V 2 |
1 |
9 2 |
# |
(1.92) |
||
2 |
+ |
%0 |
= |
2 |
+ |
%0 |
) |
p = p1 + |
|
2 |
(V |
|
w |
) = p1 |
+ |
2 |
4 |
sin |
|||
Распределение давлений симметрично относительно осей x1x2. На (рис. 8) изображен
случай, когда скорость потока на бесконечности V < 8p1 .
5%0
Чтобы найти суммарную силу действия жидкости на сферу нужно проинтегрировать давление по поверхности сферы. В силу указанной симметрии результирующая сила равна нулю. Таким образом, лобовое давление и подъёмная сила при обтекании сферы идеальной жидкостью равны нулю. Иначе говоря, при движении сферы в жидкости она на испытывает сопротивления.
В этом и заключается парадокс Даламбера
18