attachments_24-10-2012_21-31-48 / VIG(мсс2012-ПРОГРАММА)

Вопросы к экзамену по спецкурсу "Основы механики сплошных сред"

Казахстанский филиал механико-математического ф-та МГУ, г. Астана

2012/13 уч.г. 5 курс. 9 семестр. Лектоp – проф. В.И. Горбачев

1. Основные гипотезы и предположения механики сплошных сред. Предмет МСС. Основные задачи МСС. Методы МСС. Объекты исследования в МСС.

2. Переменные Эйлера и переменные Лагранжа. Эйлерова и лагранжева системы координат. Закон движения сплошной среды, его свойства. Основная задача МСС.

3. Подход Лагранжа к изучению движения сплошной среды. Скорость и ускорение материальной точки при лагранжевом подходе. Скорость и ускорение в подходе Лагранжа.

4. Подход Эйлера к изучению движения сплошной среды. Переход от лагранжевых переменных к эйлеровым и наоборот.

5. Определение полной (материальной) производной. Полная производная в подходах Лагранжа и Эйлера. Местная и конвективная составляющие полной производной по Эйлеру.

6. Установившиеся процессы. Линии тока и траектории частиц. Параметрическое определение линий тока. Случай установившегося процесса. Потенциальное течение. Необходимые и достаточные условия потенциальности течения.

7. Индексные объекты. Примеры индексных объектов нулевого, первого, второго, третьего и четвёртого порядков.

8. Геометрическое определение вектора. Приложенные, скользящие и свободные векторы. Векторное поле. Скалярное, векторное и диадное произведение векторов.

9. Координатный ковариантный базис. Разложение вектора по базису. Контравариантные компоненты вектора. Контравариантный базис. Ковариантные компоненты вектора.

10. Прямая и обратная матрица преобразования координат. Преобразование ковариантного базиса. Преобразование контравариантных и ковариантных компонент вектора. Преобразование контравариантного базиса.

11. Определение вектора, как тензора первого ранга. Диадный и полиадный базисы. Представление тензора произвольного ранга.

12. Фундаментальный метрический тензор (фундаментальная матрица). Ковариантные компоненты метрического тензора. Определитель фундаментальной матрицы. Контравариантные компоненты метрического тензора. Поднятие и опускание индексов с помощью метрического тензора.

13. Дифференцирование векторов ковариантного базиса. Символы Кристофеля 2-го рода. Выражение символов Кристофеля через компоненты фундаментальной матрицы. Дифференцирование векторов контравариантного базиса.

14. Дифференцирование вектора. Ковариантная производная контравариантных и ковариантных компонент вектора. Дифференцирование тензора любого ранга.

15. Свойства ковариантной производной. Показать, что ковариантные производные компонент вектора являются компонентами тензора второго ранга. Показать, что ковариантная производная от компонент метрического тензора равна нулю. Показать, что ковариантные производные базисных векторов равны нулю. Показать, что ковариантная производная любого инвариантного объекта (скаляра, вектора, тензора) совпадает с его частной производной.

16. Процесс деформации по Лагранжу. Ковариантные компоненты тензора деформаций. Тензор деформаций Грина. Представление тензора деформаций через относительные удлинения вдоль координатных осей и углы между осями. Геометрический смысл компонентов тензора деформаций с одинаковыми и разными индексами. Случай малых деформаций.

17. Главные оси (главные направления деформаций) и главные компоненты тензора деформаций. Определение главных компонент тензора деформаций. Инварианты тензора деформаций. Инвариантность главных значений и главных направлений тензора деформаций. Коэффициент объёмного расширения. Случай малых деформаций.

18. Тензор деформаций Альманси. Тензор дисторсии. О совпадении тензоров Грина и Альманси при малых деформациях.

19. Условия совместности деформаций Разложение тензора дисторсии на симметричную и антисимметричную части. Смысл симметричной и антисимметричной частей тензора дисторсии. Формулы Чезаро и условия совместности малых деформаций. Разные формы записи условий совместности. Тензор несовместности.

20. Тензор скоростей деформаций.

21. Напряжения в теле. Метод сечений при исследовании напряжений. Две основные гипотезы в методе сечений. Вектор напряжений на ориентированной площадке. Его основное свойство. Нормальное и касательное напряжение на площадке. Доказательство линейности связи вектора напряжений с вектором ориентированной площадки.

22. Тензор напряжений. Физический смысл компонентов тензора напряжений. Выражение нормального и касательного напряжений на площадке через компоненты тензора напряжений. Условия для напряжений на границе тела, где задан вектор распределенных нагрузок. Шаровой тензор и девиатор напряжений.

23. Площадки экстремальных нормальных напряжений. Главные напряжения, главные площадки, главные направления. Доказательство ортогональности главных направлений. Инварианты тензора напряжений. О числе независимых инвариантов тензора напряжений.

24. Площадки экстремальных значений касательных напряжений. Задача об определении площадок, где нормальные и касательные напряжения принимают заданные значения. Круги Мора.

25. Производная по времени от интеграла по подвижному объёму.

26. Закон сохранения массы. Плотность среды. Выражение массы через плотность. Интегральная форма закона сохранения массы. Уравнение неразрывности. Две формы записи уравнения неразрывности.

27. Понятие о несжимаемой среде. Уравнение несжимаемости. Уравнение неразрывности для несжимаемой среды. Уравнение неразрывности в лагранжевых координатах.

28. Количество движения точки в теоретической механике. Количество движения вещества в ограниченном объёме. Закон об изменении количества движения в теоретической механике и в МСС. Дифференциальные уравнения движения сплошной среды.

29. Момент количества движения сплошной среды, заключенной в ограниченном объёме. Закон об изменении момента количества движения в МСС. Симметрия тензора напряжений.

30. Неполная система уравнений МСС. Понятие об определяющих соотношениях. Математическая модель сплошной среды.

31. Идеальная жидкость (газ). Напряжения в идеальной жидкости (газе). Уравнения движения Эйлера идеальной жидкости (газа). Полная система уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости. Определение баротропной жидкости (газа). Полная система уравнений движения идеальной баротропной жидкости (газа).

32. Уравнения движения идеальной жидкости в форме Громеки-Лэмба. Потенциал массовых сил. Функция давления. Интеграл Бернулли. В каких случаях константа в интеграле Бернулли не зависит от линии тока? Интеграл Коши-Лагранжа в неподвижной и подвижной системах координат.

33. Задача о скорости истечении жидкости из сосуда. Задача о скорости течения жидкости при переливе через плотину. О сути подъёмной силы при обтекании различных профилей. Гидростатическая и гидродинамическая составляющие давления. Течение в трубке переменного сечения. Эффект пульверизатора. Понятие о кавитации.

34. Задача о движении сферы в бесконечной идеальной несжимаемой жидкости. Давление на поверхности сферы. Задача об обтекании сферы идеальной несжимаемой жидкостью. Парадокс Даламбера.

35. Понятие о вязкой жидкости. Тензор напряжений в вязкой жидкости. Тензор вязких напряжений. Линейная вязкая (ньютоновская) жидкость. Тензор вязкостей. Закон Навье-Стокса для анизотропной вязкой жидкости. Анизотропные и изотропные жидкости. Выражение для тензора вязких напряжений в изотропном случае. Коэффициенты вязкости. Закон Навье-Стокса для изотропной жидкости. Давление в вязкой сжимаемой и несжимаемой жидкости.

36. Уравнения движения вязкой анизотропной неоднородной жидкости. Уравнения движения Навье-Стокса для однородной изотропной жидкости. Случай несжимаемости. Полная система уравнений движения вязкой баротропной жидкости. Полная система уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости.

37. Движение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрических трубах произвольного сечения (течение Пуазейля). Случай круглой трубы. Ламинарное и турбулентное течения.

38. Понятие о линейном и нелинейном упругом теле. Закон Гука для анизотропного тела. Типы симметрии упругих материалов. Уравнения движения неоднородного анизотропного упругого тела. Уравнения Ламе.

39. Первая, вторая и смешанная начально-краевые задачи теории упругости. Задача в напряжениях. Уравнения Бельтрами-Мичела. Задача Ламе о круглой трубе, нагруженной внешним и внутренним давлением.

Список рекомендуемой литературы

1. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

2. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Основы механики сплошной среды. М.: Физматлит, 2006.

3. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. Т.2. М.: Наука, 1986.

4. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1990.

5. Эглит М.Э. Лекции по основам механики сплошных сред. Изд. 2-е, испр. М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2010.

6. Ильюшин А.А., Ломакин В.А., Шмаков А.П. Задачи и упражнения по механике сплошной среды. М.: Изд-во МГУ, 1979.

7. Механика сплошных сред в задачах (ред. М.Э.Эглит). В 2-х т. М.: Московский лицей, 1996.