1.3Потенциальное течение идеальной жидкости (газа).

Течение называется потенциальным если существует скалярная функция '(x; t) такая, что

Функция '(x; t) называется потенциалом скорости течения. Необходимыми и достаточными условиями существования потенциала течения в односвязной области являются следующие условия налагаемые на компоненты вектора скорости:

По сути дела условия (1.44) являются условиями интегрируемости системы трех дифференциальных уравнений

относительно одной скалярной функции '. Потенциальное течение является в то же время и безвихревым течением, т.е.

поскольку в евклидовом пространстве ковариантное дифференцирование перестановочно rirj' = rjri'. Верно и обратное: если течение является безвихревым, то оно потенциально.

1.3.1Теорема Лагранжа о сохраняемости потенциального течения во времени.

Пусть внешние массовые силы потенциальны и жидкость баротропная. Далее, пусть в некотором объёме жидкости в момент времени t0 нет вихрей.

Теорема Лагранжа утверждает, что в данном объёме вихрей не было при t < t0, а также вихрей не будет и при t > t0.

Доказательство Теоремы Лагранжа смотри в [1, стр. 331.]

1.3.2Общие нелинейные уравнения потенциального течения идеальной баротропной жидкости (газа).

Уравнения движения при потенциальном течении состоят из двух скалярных уравнений: - интеграла Коши-Лагранжа (1.38) и уравнения для функции давления (1.24), в котором div ~v = div grad ' = '

(

8

Потенциал определен с точность до функции, зависящей от времени и не влияю-

R

щей на скорость. Тогда можно заменить ' ! ' + f(t)dt, при этом интеграл КошиЛагранжа станет равным нулю, а система уравнений (1.48) примет вид:

(

Система уравнений нелинейна и её решение в общем случае затруднительно. Однако есть случаи, в которых удается сравнительно просто получить решение:

1.3.3Возмущенное движение сжимаемой жидкости (газа).

Пусть известно какое либо состояние равновесия жидкости. Дадим малые отклонения от равновесного состояния для скорости и функции давления. Тогда из нелинейных уравнений (1.49) получим систему линейных уравнений для отклонений, которую, в некоторых случаях, удаётся решить аналитически.

Пусть движение жидкости представляет собой малые отклонения от начального состояния, в котором скорость и давление нулевые. Линеаризованная система уравнений (1.49) принимает вид:

(

Пусть U не зависит от времени. Продифференцируем первое уравнение по времени и найдем

Подставив найденное выражение во второе уравнение получим классическое волно-

1.3.4Потенциальное течение однородной несжимаемой жидкости.

В этом случае % = %0 = const:, следовательно

ss

Из второго уравнения системы (1.49) сразу получаем уравнение Лапласа для потенциала

Первое уравнение системы (1.49) примет вид:

9