Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachments_24-10-2012_21-31-48 / МСС-Lekt7(ldealnaya)PDF.pdf

Скачиваний:

187

Добавлен:

09.02.2015

Размер:

554.6 Кб

Скачать

☆

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

ЛЕКЦИЯ 7. Идеальная жидкость (газ).

1.1 Идеальные жидкость и газ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .		2
1.1.1 Напряжения в идеальной жидкости (газе). . . . . . . . . . . . . . .		2
1.1.2	Уравнение движения Эйлера для идеальной жидкости (газа). . . .	2
1.1.3	Уравнение Эйлера в форме Громеки-Лэмба. . . . . . . . . . . . . .	3

1.1.4Полная система уравнений движения баротропной идеальной жид-

кости (газа). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.5Полная система уравнений движения идеальной несжимаемой жид-

кости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
1.1.6 Начальные и граничные условия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5

1.2Первые интегралы уравнений движения идеальной жидкости. . 6 1.2.1 Интеграл Бернулли при установившемся течении баротропной жид-

кости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.2Интеграл Коши-Лагранжа при потенциальном течении баротроп-

ной жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2.3Интеграл Коши-Лагранжа в подвижных координатах. . . . . . . . 7

1.3Потенциальное течение идеальной жидкости (газа). . . . . . . . . 8 1.3.1 Теорема Лагранжа о сохраняемости потенциального течения во

времени. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3.2Общие нелинейные уравнения потенциального течения идеальной

баротропной жидкости (газа). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	8
1.3.3 Возмущенное движение сжимаемой жидкости (газа). . . . . . . . .	9

1.3.4Потенциальное течение однородной несжимаемой жидкости. . . . 9

1.3.5Установившееся плоское движение сжимаемой жидкости (газа). . 10

1.3.6Неустановившееся одномерное течение. . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4Примеры решения простейших задач гидро и газо динамики с применением интеграла Бернулли. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1Задача об истечении жидкости из бочки. . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.2Задача о переливе жидкости через плотину. . . . . . . . . . . . . . 11

1.4.3О сути подъёмной силы при обтекании различных профилей. . . . 12

1.4.4Течение в трубе переменного сечения. Эффект пульверизатора. . 13

1.4.5Кавитация. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5Задача о движении сферы в бесконечной идеальной несжимаемой жидкости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5.1 Задача об обтекании сферы идеальной несжимаемой жидкостью.

1.5.2 Парадокс Даламбера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6Контрольные вопросы и задачи по теме "Идеальная жидкость (газ)". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.1Идеальные жидкость и газ.

Идеальной жидкостью или идеальным газом называют сплошную среду, в которой

вектор напряжения Pn на любой площадке с единичной внешней нормалью ~n перпендикулярен площадке.

~	(1.1)
Pn = p~n

Как показывают наблюдения, любая материальная среда при больших температурах и давлениях обладает этим свойством [1, стр. 61].

Скалярная функция p(x1; x2; x3; t) называется давлением. Величина давления положительная функция, действует давление против направления внешней нормали к площадке и приводит к всестороннему сжатию в окрестности точки. По этой причине в формуле (1.1) выбран знак минус. Однако давление может быть и отрицательным и тогда оно приводит к всестороннему растяжению точки. Ниже будет рассказано о явлении кавитации, связанном с появлением отрицательного давления в некоторых областях движущейся сплошной среды.

1.1.1Напряжения в идеальной жидкости (газе).

На любой ориентированной площадке, построенной в точке x эйлерова пространства нормальное напряжение постоянно и зависит лишь от самой точки и времени t. В самом деле

; t)

(1.2)

n = Pn~n =

p~n~ = p(x

; x

С другой стороны

ninj = (s

+ g

)ninj = s

ninj + g

ninj =

n = Pn~n =

= sijninj + njnj = sijninj + = p

(1.3)

Следовательно, на любой площадке в идеальной жидкости девиатор напряжений равен нулю, а тензор напряжений становится шаровым и имеет вид:

ij = pgij ) rj ji = gijrjp = rjp

(1.4)

Величины rjp представляют собой контравариантные компоненты вектора–градиента,

а его ковариантные компоненты, как уже было показано, имеют вид:
rjp = p;j =	@p	(1.5)

	@xj

1.1.2Уравнение движения Эйлера для идеальной жидкости (газа).


Общее для всех сплошных сред уравнение движения
dvj
ri ij + %F j %			= 0
	dt
в случае жидкости (газа) принимает вид:
	dvi			(1.6)
rip + %F i =
		dt

Уравнения (1.6) называются уравнениями Эйлера движения идеальной жидкости

(газа). Уравнения Эйлера можно записать в векторной форме
~	d~v	(1.7)
grad p + %F = %
	dt
2

1.1.3Уравнение Эйлера в форме Громеки-Лэмба.

Для того, чтобы написать уравнения Эйлера в такой форме нужно преобразовать полную производную от вектора скорости и представить её в виде:

d~v	@~v			~v ~v	+ 2!~ ~v ;	(1.8)
	=		+ grad
dt		dt		2

где вектор !~ называется вектором вихря и его компоненты находятся через вектор скорости

!~ =	1	rot ~v ;	в декартовых координатах !i =	1	isrvr;s	(1.9)

	2			2

Распишем в декартовых координатах последние два слагаемых (верхние и нижние

индексы оставляем, хотя в декартовых координатах это не имеет значения)

grad

~v ~v

(vivi);k~ek = vivi;k~ek ;

2!~ ~v = 2 kij!ivj~ek = jki isrvr;svj~ek = ( js kr jr ks)vr;svj~ek = (vk;j vj;k)vj~ek ;

~v ~v

grad

+ 2!~ ~v = (vivi;k

+ vk;jvj vj;kvj)~ek

= vjvk;j~ek )

@~v

~v ~v

d~v

+ grad

+ 2!~ ~v =

+ vjvk;j

~ek =

(1.10)

ч. т. д.

После этого уравнения Эйлера предстанут в виде

@~v

~v ~v

(1.11)

grad p + F =

+ grad

+ 2!~ ~v

1.1.4Полная система уравнений движения баротропной идеальной жидкости (газа).

Уравнения течения идеальной жидкости включают в себя три скалярных уравнения Эйлера и одно уравнение несжимаемости. Всего четыре уравнения, а искомых функцийпять: три компоненты вектора скорости, давление и плотность. Нужно ещё одно соотношение, которое позволит замкнуть систему уравнений.

В это соотношение должны входить величины, характеризующие конкретную жидкость. Таким соотношением в теории идеальной сжимаемой жидкости (газа) во многих случаях является зависимость между давлением и плотностью, которое называется

условием баротропии

p = p(%) , % = %(p)

(1.12)

В условие баротропии, кроме плотности могут ещё входить самые разные параметры, например, температура. Конкретным примером является закон МенделееваКлайперона для газов

p = %RT ;

(1.13)

где R универсальная газовая постоянная. Таким образом, полная (замкнутая) система уравнений движения идеальной сжимаемой жидкости (газа) включает уравнения

движения, уравнение неразрывности и закон баротропии

d~v

@~v

~v ~v

% grad p + F = dt

= dt + grad

+ 2!~ ~v

p = f(%)

d%dt

+ % div ~v = 0

(1.14)

Пусть теперь массовые:

силы потенциальны, т.е. существует такая скалярная функ-

ция, что

(1.15)

grad U(x; t)

F =

Тогда полная система может быть представлена следующим образом

%1 grad p = @~dtv + grad

~v ~v

+ U

+ 2!~ ~v

dt + % div ~v = 0

(1.16)

p = f(%)

(x; t)

следующим

Для баротропной жидкости (газа) введём функцию давления P

образом:

dP = %(p)

)

P = Z

%(p) + const: ;

(1.17)

тогда

d =

dxi =

ipdxi

rip

dxi = 0

grad

grad p

riP

r%(p)

)

riP %(p)

)

%(p)

(1.18)

Используя эту формулу, получаем уравнения Эйлера в виде удобном для нахожде-

ния первых интегралов			j 2j			+ P + U	= 2!~ ~v
	dt	+ grad	j 2j		2	+ P + U	= 2!~ ~v	(1.19)
	@~v			~v	2

Далее преобразуем уравнение неразрывности, так чтобы оно перешло в уравнение для функции давления. Для этого проделаем следующие преобразования

dP =

dp d%

= a2

(1.20)

;

где

a = s

;

(1.21)

Поделив обе части формулы (1.20) на a2dt, получаем, что

1 d%

(1.22)

% dt

Величина a = a(P). Этот факт следует из следующих выкладок:

P = P(p) ) p = p(P);

% = %(p) ) a = s

= a(p(P)) = a(P)

d%(p)

(1.23)

Уравнение неразрывности

+ % div ~v = 0

или

1 d%

+ div ~v = 0

% dt

принимает вид:

+ div ~v = 0

(1.24)

a2 dt

В итоге полная система уравнений движения идеальной баротропной жидкости (газа) сводится к трём уравнениям Эйлера для компонент вектора скорости и одному уравнению для функции давления

(	12				P				(1.25)
(	12	dP + div ~v = 0			P				(1.25)
	@~v + grad		j~vj2	+		+ U =	2!~	~v = ~v	rot ~v
	dt		2

	a	dt

1.1.5 Полная система уравнений движения идеальной несжимаемой жидкости.

У несжимаемой жидкости объём постоянен, что приводит к уравнению несжимаемости div ~v = 0. Уравнение неразрывности, при этом существенно упрощается до

+ ~v grad % = 0

(1.26)

Полная система уравнений идеальной несжимаемой жидкости примет вид:

@~v

j~vj2

% grad p + F = dt + grad

~v rot ~v

(1.27)

div ~v = 0

+ ~v grad % = 0

При F = grad U

%1 grad p = @~dtv + grad

j~v2j2

+ U

~v rot ~v

div ~v = 0

(1.28)

@t + ~v grad % = 0

Если жидкость однородная, т.е. % = %0 = const:, тогда уравнение неразрывности удовлетворяется тождественно, а система уравнений движения идеальной однородной несжимаемой жидкости принимает вид:

(	@~v + grad	j~vj2	+	p		+ U	= ~v	rot ~v

	dt	2	%		0			(1.29)
	div ~v = 0

1.1.6Начальные и граничные условия.

Для выделения единственного решения уравнений (1.25) и (1.27) нужны начальные и граничные условия. В начальный момент времени t = t0 задается вектор скорости во всех точках области V

~v(x; t0) = ~v0(x)

(1.30)

Граничные условия задаются на всей поверхности контакта жидкости с границей

области течения
~v(n)(x; t)j v = v~nj v = ~v(0n)(x; t) ;	p(x; t)j p = p0(x; t) ; = v [ p	(1.31)

1 / 71 2 3 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке attachments_24-10-2012_21-31-48

#
09.02.201557.86 Кб50VIG(мсс2012-ПРОГРАММА).DOC
#
09.02.2015554.6 Кб187МСС-Lekt7(ldealnaya)PDF.pdf