или даже отрицательным. В этих местах в жидкости образуются пузырьки, заполненные парами жидкости или же газами, растворенными в ней. Такое явление называется кавитацией. Подробнее с явлением кавитации можно познакомиться в книге [2]

1.5Задача о движении сферы в бесконечной идеальной несжимаемой жидкости.

Пусть абсолютно твердая сфера радиуса a движется поступательно со скоростью V (t) относительно неподвижной системы декартовых координат в неограниченном объёме идеальной несжимаемой жидкости. Массовые силы положим равными нулю, т.е.

~

F = 0.

Обозначим неподвижные координаты через x1; x2; x3. Свяжем с телом декартову систему координат x1; x2; x3, которая движется поступательно вместе со сферой в направлении оси x1. Оси подвижных координат направим по осям неподвижной системы координат, а центр расположим в центре сферы.

p

Обозначим через r = xixi = x21 + x22 + x23 расстояние от начала координат до некоторой точки подвижного пространства, а через # угол между лучем Or и осью Ox1, причем cos # = x1=r (рис. 5).

Рис. 5: Движение сферы в идеальной жидкости

При движении сферы частицы жидкости отодвигаются сферой в направлении нормали к поверхности тела со скоростью V cos #. Этим действием сфера приводит в движение всю жидкость. Пусть ~v(x) = [v1(x); v2(x); v3(x)] вектор скорости жидкости относительно подвижных координат. На границе сферы проекция вектора скорости ~v жидкости на нормаль к сфере будет равна скорости точки сферы в направлении нормали

Граничное условие (1.66) называется условием непроницаемости (поток жидкости внутрь тела равен нулю). Условие непроницаемости диктует характер взаимодействия тела с жидкостью. При 0 6 # < =2 жидкость продвигается вперёд и в стороны. На экваторе, т.е. при # = =2 радиальная компонента вектора скорости vr равна нулю, тангенциальная компонента вектора скорости v# = V (t). При =2 < # 6 жидкость увлекается за сферой и, тем самым, обеспечивается безотрывность обтекания.

Другое условие на движение жидкости состоит в том, что на бесконечности жидкость покоится, т.е.

lim vr ! 0 (1.67)

r!1

14

В нашем случае массовые силы отсутствуют, несжимаемая однородная жидкость является баротропной жидкостью с функцией давления P = p=%0 + const:, движение жидкости начинается из состояния покоя, т.е. при t = 0 вихри в жидкости отсутствуют. Следовательно, все условия теоремы Лагранжа о сохраняемости потенциальности течения выполнены.

Течение жидкости вызванное движением в ней жесткой сферы будет потенциальным, т.е. ~v = grad ', при этом

Где ~n и ~ единичные векторы нормали и касательной к поверхности сферы. Потенциальное течение несжимаемой однородной жидкости описывается уравнением Лапласа (1.54)

и интегралом Коши-Лагранжа в подвижных координатах (1.42), в котором следует положить U = 0, P = p=%0 + const:, ~vпер = [V (t); 0; 0], а функцию f(t) приписать к потенциалу. В результате интеграл Коши-Лагранжа примет вид:

Константу выбираем из условия на бесконечности для давления p(x; t) ! p1. По-

r!1

сле этого из интеграла Коши-Лагранжа найдём распределение давления

Искомый гармонический потенциал должен удовлетворять условию непроницаемо-

Задача (1.69), (1.72) является классической задачей Неймана для внешности шара. Её решением, убывающем на бесконечности, является гармоническая функция

Константу A найдём из условия непроницаемости

15

Найдём радиальную и тангенциальную составляющие вектора скорости в плоскости x1x2

Отсюда видно, что линии тока начинаются и заканчиваются на поверхности сферы, поскольку

Рис. 6: Скорость жидкости в симметричных точках и линии тока (помечены красным цветом)

Давление на поверхности сферы определяется по формуле (1.71), которая для случая постоянной скорости движения сферы принимает вид:

16

1.5.1Задача об обтекании сферы идеальной несжимаемой жидкостью.

Пусть теперь жидкость обрекает неподвижную сферу. Систему координат оставим прежней Ox1x2x3 с центром O в центре сферы. Жидкость течет из бесконечности вдоль оси x1 против её направления, т.е. скорость жидкости на бесконечности равна V . Такое течение, также как и в предыдущем случае является потенциальным течением.

Потенциал течения обозначим через . Постановка задачи об обтекании неподвижной сферы жидкостью состоит из уравнения Лапласа

Рассмотрим случай, когда сфера отсутствует, а течение есть. Тогда такое течение описывается потенциалом

Очевидно, что уравнение Лапласа и условие на бесконечности для этого потенциала удовлетворяются.

Если теперь на течение, вызванное движением сферы вместе с осями координат наложить движение жидкости противоположное движению сферы, то сфера остановится2, а среда будет обтекать сферу. Потенциал такого суммарного течения является гармонической функцией и он равен

ставленный формулой (1.86) является решением задачи (1.82)–(1.84) об обтекании жесткой недеформируемой сферы идеальной несжимаемой жидкостью.

2по крайней мере очевидно, что скорость лобовой точки сферы станет равной нулю

17