1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_12_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение показательного распределения равны между собой.

M(X) = (X) = 1/

61

Теория вероятностей и математическая статистика

11.10. Функция надежности

Будем называть элементом некоторое устройство независимо от того, «простое» оно или «сложное».

Пусть элемент начинает работать в момент времени t0=0, а по истечении времени длительностью t происходит отказ.

Обозначим через Т непрерывную случайную

величину — длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время, меньшее t, то, следовательно, за время длительностью t наступит отказ.

62

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, функция распределения F(t) = Р(Т < t) определяет вероятность отказа за время длительностью t .

Следовательно, вероятность безотказной работы за это же время длительностью t, т. е. вероятность противоположного события T > t, равна

R(t) = P(T>t) = 1- F(t) (*)

63

Теория вероятностей и математическая статистика

Функцией надежности R(t) называют функцию,

определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t :

R(t) = P(T>t).

64

Теория вероятностей и математическая статистика

11.11. Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, функция распределения которого

F(t) = 1 – e- t.

65

Теория вероятностей и математическая статистика

Следовательно, в силу соотношения (*) предыдущего параграфа функция надежности в случае показательного

распределения времени безотказной работы элемента имеет вид

R(t) = 1 – F(t) = 1 – (1 – e- t) = e- t .

66

Теория вероятностей и математическая статистика

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством

R(t) = e- t .

где — интенсивность отказов.

67

Теория вероятностей и математическая статистика

Как следует из определения функции надежности (см. раздел 11.10), эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t, если время безотказной работы имеет показательное распределение.

68

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону f(t) = 0,02е-0,02t при t 0 (t —время). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч.

Решение. По условию, постоянная интенсивность отказов = 0,02. Воспользуемся формулой (*):

R(100) = е-0,02 100 = е-2 = 0,13534

Искомая вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 ч, приближенно равна 0,14.

69

Теория вероятностей и математическая статистика

11.12. Характеристическое свойство показательного закона надежности

Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения задач, возникающих на практике.

Очень многие формулы теории надежности значительно упрощаются. Объясняется это тем, что этот закон обладает следующим важным свойством:

вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t (при заданной интенсивности отказов ).

70