1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_12_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
1110.9.2. Показательное распределение
110..92..11. Определение показательного распределения
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью
0 при < 0,= − при ≥ 0,
где k— постоянная положительная величина.
51
Теория вероятностей и математическая статистика
1110.9.2. Показательное распределение
110..92..11. Определение показательного распределения
Показательным (экспоненциальным) называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью
0 при < 0,= − при ≥ ,
где k— постоянная положительная величина.
52
Теория вероятностей и математическая статистика
Показательное распределение определяется одним параметром .
Эта особенность показательного распределения указывает на его преимущество по сравнению с распределениями, зависящими от большего числа параметров.
Обычно параметры неизвестны и приходится находить их оценки (приближенные значения); разумеется, проще оценить один параметр, чем два или три и т. д.
53
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдем функцию распределения показательного закона.
|
|
0 |
|
= |
= |
0 + |
− = 1 − − . |
|
−∞ |
−∞ |
0 |
Откуда
= |
0 при < 0, |
1 − − при ≥ 0. |
54
Теория вероятностей и математическая статистика
Графики плотности распределения и функции распределения показательного закона представлены на рисунке.
55
Теория вероятностей и математическая статистика
11.9.2. Вероятность попадания в заданный интервал показательно распределенной случайной величины
Найдем вероятность попадания в интервал (a,b) непрерывной случайной величины X, которая распределена по показательному закону, заданному функцией распределения
F(x)= 1– е- x (х 0). (11.1)
56
Теория вероятностей и математическая статистика
Для этого воспользуемся формулой
P(a < X < b) = F(b) – F(a).
Подставляя в нее значения показательной функции (11.1) в точках b и a, получим
P(a < X < b) = е- а – е- b.
Значения функции е-x находят по таблице.
57
Теория вероятностей и математическая статистика
1011..29..3.. Числовые характеристики показательного
распределения
Пусть непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону
0 при < 0,= − при ≥ 0,
58
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдем ее математическое ожидание
∞ |
|
∞ |
= |
= |
− . |
0 |
|
0 |
Интегрируя по частям, получим
М(Х) = 1/ .
Т.е. математическое ожидание показательного распределения равно обратной величине параметра .
59
Теория вероятностей и математическая статистика
Найдем среднее квадратическое отклонение
|
∞ |
|
|
∞ |
|
= |
2 |
|
− [ ( )]2= |
2 − |
− 1/ 2. |
|
0 |
|
|
0 |
|
Интегрируя по частям, получим |
|
|
|||
|
|
|
∞ 2 − = 2/ 2. |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Следовательно |
|
D(X) = 1/ 2 |
|
|
|
Откуда среднее квадратическое отклонение
показательного распределения
(X) = 1/
60