1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_12_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Случайная величина X распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение X соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

11

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. Воспользуемся формулой

Р(| Х — а | < ) = 2Ф( / ).

По условию, = 3, а = 20, = 10. Следовательно,

Р(|Х — 20| < 3) = 2Ф(3/10) = 2Ф(0,3).

По таблице приложения 2 находим Ф(0,3) = 0,1179. Искомая вероятность

Р(|Х – 20| < 3) = 0,2358.

12

Теория вероятностей и математическая статистика

11.6. Правило трех сигм

Преобразуем формулу Р(|Х - а| < ) = 2Ф( / ), положив= t. В итоге получим

Р(|Х—а|< t ) = 2Ф(t).

Если t = 3 и, следовательно,

t = З , то Р(|X — а|< З ) = 2Ф(3) = 2 0,49865 = 0,9973,

т. е. вероятность того, что отклонение по

абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

13

Теория вероятностей и математическая статистика

Другими словами, вероятность того, что абсолютная

величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027.

Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий, можно считать

практически невозможными.

14

Теория вероятностей и математическая статистика

Сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

15

Теория вероятностей и математическая статистика

В статистике часто используется еще одна характеристика нормального распределения –

параметр Z

= − .

Параметр Z выражает отклонение случайной величины Х от ее математического ожидания в единицах среднего квадратического отклонения.

16

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Ежемесячные доходы недавних выпускников MBA в крупной корпорации обычно распределяются со средним значением 2000 $ и средним квадратическим отклонением 200 $.

Каков параметр Z для заработной платы X в 2200 $ и 1700 $?

Р е ш е н и е . Для X = 2200 $ параметр Z = (X - а)/ , тогда

Z = (2200 - 2000)/200 = 1.

Z величиной 1 указывает, что заработная плата 2200 $ - на 1 среднее квадратическое отклонение выше средней заработной платы 2000 $.

17

Теория вероятностей и математическая статистика

Для X = 1700 $ параметр Z = (X - а)/ , тогда Z = (1700 - 2000)/200 =-1,5.

Величина Z = -1,5 указывает, что заработная плата 1700 $ на 1,5 среднего квадратического отклонения ниже среднего значения заработной платы 2000 $.

Как корпорация может использовать этот тип информации?

18

Теория вероятностей и математическая статистика

Приблизительно 68 процентов области под нормальной кривой находится в пределах плюс-минус одно среднее квадратическое отклонение от среднего значения (математического ожидания). Это может быть записано как а ± 1 .

Приблизительно 95 процентов* области под нормальной кривой находятся в пределах плюс-минус два среднеквадратических отклонения а ± 2 .

Практически вся (99,73 процента) область под нормальной кривой находятся в пределах трех

19

Теория вероятностей и математическая статистика

*слайды 50-51 из лекции 3 (2.4. Принцип практической невозможности маловероятных событий) .

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем

значимости.

На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05.

Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д.

20