1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_12_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Из принципа невозможности маловероятных событий
вытекает следующее важное для приложений следствие.
Если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит.
Ответ на вопрос о том, какую вероятность считать близкой к единице, также зависит от существа задачи.
21
Теория вероятностей и математическая статистика
Приблизительно 68 процентов области под нормальной кривой находится в пределах плюс-минус одно среднее квадратическое отклонение от среднего значения (математического ожидания). Это может быть записано как а ± 1 .
Приблизительно 95 процентов* области под нормальной кривой находятся в пределах плюс-минус два среднеквадратических отклонения а ± 2 .
Практически вся (99,73 процента) область под нормальной кривой находятся в пределах трех
среднеквадратических отклонений от |
среднего, т.е. |
а ± 3 . |
|
22
Теория вероятностей и математическая статистика
Приблизительно 68 процентов области под нормальной кривой находится в пределах плюс-минус одно среднее квадратическое отклонение от среднего значения (математического ожидания). Это может быть записано как а ± 1 .
Приблизительно 95 процентов области под нормальной кривой находятся в пределах плюс-минус два среднеквадратических отклонения а ± 2 .
Практически вся (99,73 процента) область под нормальной кривой находятся в пределах трех
среднеквадратических отклонений от |
среднего, т.е. |
а ± 3 . |
|
23
Теория вероятностей и математическая статистика
1. 68,26%
а-3
24
Теория вероятностей и математическая статистика
11.7. Понятие о теореме Ляпунова. Формулировка центральной предельной теоремы
Известно, что нормально распределенные
случайные величины широко распространены на практике.
Чем это объясняется?
Ответ на этот вопрос был дан выдающимся русским математиком Александром Михайловичем
Ляпуновым, сформулировавшим центральную предельную теорему.
25
Теория вероятностей и математическая статистика
26
Теория вероятностей и математическая статистика
Формулировка центральной предельной теоремы
Теорема. Если случайная величина X представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то X имеет распределение, близкое к нормальному.
27
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример. Пусть производится измерение некоторой физической величины.
Любое измерение дает лишь приближенное значение измеряемой величины, так как на результат измерения влияют очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, их совокупное действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».
28
Теория вероятностей и математическая статистика
Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному.
Опыт подтверждает справедливость такого заключения.
29
Биномиальное распределение с n = 2 и p = 0.5.
P(х)
0.5
0.4
0.3
0.25
х
0 |
1 |
2 |