1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_12_22_лекц_1К

Биномиальное распределение с n = 5 и p = 0.5.

P(х)

х

Биномиальное распределение с n = 20 и p = 0.5.

P(х)

Наблюда

ется

форма

нормаль

ного

распреде ления !

х

Теория вероятностей и математическая статистика

11.8. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс

Эмпирическим называют распределение относительных частот.

Теоретическим называют распределение вероятностей.

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Эмпирические распределения изучает

математическая статистика.

Теоретические распределения изучает теория вероятностей.

В этом разделе рассматриваются теоретические распределения.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

При изучении распределений, отличных от нормального, возникает необходимость количественно оценить это различие. С этой целью вводят специальные характеристики, в частности,

асимметрию и эксцесс.

Для нормального распределения асимметрия и эксцесс равны нулю.

35

Теория вероятностей и математическая статистика

Поэтому если для изучаемого распределения

асимметрия и эксцесс имеют небольшие значения, то можно предположить близость этого распределения к нормальному.

Наоборот, большие значения асимметрии и эксцесса указывают на значительное отклонение от нормального.

36

Теория вероятностей и математическая статистика

Для оценки асимметрии используют центральные моменты (математическое ожидание целой положительной степени отклонения случайной величины).

37

Теория вероятностей и математическая статистика

Слайд 62 из лекции 8.

Кроме моментов случайной величины X целесообразно рассматривать моменты отклонения X — М(Х).

Центральным* моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (Х - M(Х))k :

k = M[(Х - M(Х))k ] .

В частности,

1 = M[Х - M(Х)], (**)

2 = M[(Х - M(Х))2 ] (***)

*Центральный (отсчет идет от M(Х), являющегося центром, около которого рассеяны возможные значения случайной величины).

38

Теория вероятностей и математическая статистика

Асимметрией теоретического распределения называют отношение центрального момента третьего порядка к кубу среднего квадратического отклонения:

AS = 3/ 3.

39

Теория вероятностей и математическая статистика

Знак асимметрии определяют по расположению кривой распределения относительно точки максимума (моды)

дифференциальной функции (функции плотности распределения): если «длинная часть» кривой расположена правее моды, то асимметрия положительна (рис. а), если слева — отрицательна (рис. б).

40