1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_10_22_лекц_1К
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Решение. Так как на интервале (0,2), по условию
F(x) = x/4 + 1/4,
то
F(2) – F(0) = (2/4 + 1/4) – (0/4 + 1/4) = 1/2.
Итак,
P(0<X<2) = 1/2.
21
Теория вероятностей и математическая статистика
Следствие 2. Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет одно определенное значение, равна нулю.
22
Теория вероятностей и математическая статистика
Действительно, положив в формуле (9.1) а = х1, b = х1 + |
||
x, имеем |
|
|
1 ≤ < 1 |
+ ∆ = 1 + ∆ |
− 1 . |
Устремим х к нулю. |
нулю. Так как X |
— непрерывная |
случайная величина, то функция F(х) непрерывна. В силу
непрерывности F(х) в точке х разность + ∆ − |
|||
|
|
1 |
|
|
|
также стремится к нулю; |
следовательно, |
|
|
|
|
= = .
Используя это положение, легко убедиться в справедливости равенств
≤ < = < < =< ≤ = ≤ ≤ .
23
Теория вероятностей и математическая статистика
Например, |
равенство < ≤ = < < |
доказывается так:
< ≤ = < < + Р(Х=b) = < < .
24
Теория вероятностей и математическая статистика
Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что непрерывная случайная величина примет одно определенное значение, но имеет
смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малый.
Этот факт полностью соответствует требованиям практических задач.
Например, интересуются вероятностью того, что
размеры деталей не выходят за дозволенные границы, но не ставят вопроса о вероятности их совпадения с проектным размером.
25
Теория вероятностей и математическая статистика
Заметим, что было бы неправильным думать, что равенство нулю вероятности Р(Х = х1) означает, что
событие Х = х1 |
невозможно (если, конечно, не |
|
ограничиваться |
классическим |
определением |
вероятности).
Действительно, в результате испытания случайная
величина обязательно примет одно из возможных значений; в частности, это значение может оказаться равным х1.
26
Теория вероятностей и математическая статистика
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу* (а, b), то: 1) F(х) = 0
при х а; 2) F(х) = 1 при х b.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть х1 а. Тогда событие X<х1 невозможно (так как значений, меньших х1,
величина X по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.
2) Пусть х2 b. Тогда событие X < х2 достоверно (так как все возможные значения X меньше х2) и, следовательно, вероятность его равна единице.
*интервал – множество всех чисел, удовлетворяющих
строгому неравенству a < x < b. |
27 |
|
Теория вероятностей и математическая статистика
Свойство 3. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу* (а, b), то: 1) F(х) = 0
при х а; 2) F(х) = 1 при х b. 
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1) Пусть х1 а. Тогда событие X<х1 невозможно (так как значений, меньших х1,
величина X по условию не принимает) и, следовательно, вероятность его равна нулю.
2) Пусть х2 b. Тогда событие X < х2 достоверно (так как все возможные значения X меньше х2) и, следовательно, вероятность его равна единице.
*интервал – множество всех чисел, удовлетворяющих
строгому неравенству a < x < b. |
28 |
|
Теория вероятностей и математическая статистика
Следствие. Если возможные значения непрерывной случайной величины расположены на всей оси х, то справедливы следующие предельные соотношения:
lim |
|
= 0; lim |
= 1. |
→−∞ |
|
→∞ |
|
29
Теория вероятностей и математическая статистика 9.3. График функции распределения
Доказанные свойства функции распределения позволяют представить, как выглядит график данной функции для непрерывной случайной величины.
30