1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_10_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Теперь можно дать более точное определение
непрерывной случайной величины.
Случайную величину называют непрерывной, если ее функция распределения есть непрерывная, кусочно-дифференцируемая функция с непрерывной производной.
11
Теория вероятностей и математическая статистика
9.2. Свойства функции распределения
Свойство 1. Значения функции распределения принадлежат отрезку* [0,1]:
0 F(x) 1.
Свойство вытекает из определения функции распределения как вероятности: вероятность всегда есть неотрицательное число, не превышающее единицы.
*множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству a x b. 12
Теория вероятностей и математическая статистика
Свойство 2. F(х) — неубывающая функция, то есть
F(x2) F(x1), если x2 > x1.
В порядке исключения приведем доказательство данного утверждения.
13
Теория вероятностей и математическая статистика
Доказательство. Пусть х2 > х1. Событие, состоящее в том, что X примет значение, меньшее х1, можно подразделить на следующие два несовместных события:
1)X примет значение, меньшее х1, с вероятностью Р( X < х1);
2)X примет значение, удовлетворяющее неравенству х1Х < х2, с вероятностью Р(х1 Х < х2).
По теореме сложения имеем
Р(Х < х2) = Р(Х < х1) + Р(х1 Х < х2).
Отсюда
Р(Х < х2) - Р(Х < х1) = Р(х1 Х < х2),
или
F(Х < х2) - F(Х < х1) = Р(х1 Х < х2) (*)
14
Теория вероятностей и математическая статистика
Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то F(х2) - F(х1) 0, или F(х2) F(х1), что и требовалось доказать.
15
Теория вероятностей и математическая статистика
Следствие 1. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале (а, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:
Р(а Х<b) = F(b) – F(а) |
(9.1). |
|
|
Это важное следствие вытекает из ранее полученной формулы (*)*, если положить в ней х2 = b и х1 = а.
* F(Х < х2) - F(Х < х1) = Р(х1 Х < х2) (*)
16
Теория вероятностей и математическая статистика
В некоторых учебниках Следствие 1 формулируется так: Вероятность того, что случайная величина примет значение, попадающее на заданный участок* (а, b), равна приращению функции распределения на этом участке:
Р(а Х<b) = F(b) – F(а) |
(9.1). |
|
|
*Для определенности принято левый конец а участка
(а,b) (правильно [а,b)) включать в него, а правый b – не включать.
*вместо термина участок (используется в ряде изданий учебника Гмурмана В.Е.), чаще применяется термин
полуинтервал. |
17 |
|
Теория вероятностей и математическая статистика
В некоторых учебниках Следствие 1 формулируется так: Вероятность того, что случайная величина примет значение, попадающее на заданный участок* (а, b), равна приращению функции распределения на этом участке:
Р(а Х<b) = F(b) – F(а) |
(9.1). |
|
|
*Для определенности принято левый конец а участка
(а,b) (правильно [а,b)) включать в него, а правый b – не включать.
*вместо термина участок (используется в ряде изданий учебника Гмурмана В.Е.), чаще применяется термин
полуинтервал (см. следующий слайд). |
18 |
|
Теория вероятностей и математическая статистика
Полуинтервал – один из видов промежутков в математике, множество всех вещественных чисел,
заключенных между двумя вещественными числами а и b и удовлетворяющее неравенству а х < b или неравенству а < х b (х – любой из элементов
указанного множества).
ах < b, х [a,b) – полуинтервал, открытый справа и замкнутый слева.
а< х b, х (a,b] – полуинтервал, открытый слева и замкнутый справа.
В отличие от интервала, не включающего граничных чисел, и отрезка, включающего оба граничных числа, в полуинтервал входит только одно из граничных чисел.
19
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 1. Случайная величина Х задана функцией распределения
|
|
|
0 при х ≤ −1; |
|
= |
|
+ |
1 |
при − 1 < х ≤ 3; |
4 |
4 |
|||
|
|
|
|
1 при > 3. |
Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, принадлежащее интервалу (0,2):
P(0<X<2) = F(2) – F(0).
20