1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_10_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

График расположен в полосе, ограниченной прямыми у = 0 , у = 1 (первое свойство).

При возрастании х в интервале (а, b), в котором заключены все возможные значения случайной величины, график «поднимается вверх» (второе свойство).

При х а ординаты графика равны нулю; при х b ординаты графика равны единице (третье свойство).

31

Теория вероятностей и математическая статистика

График функции распределения непрерывной случайной величины изображен на рис. 9.1.

Рис.9.1.

32

Теория вероятностей и математическая статистика

График функции распределения дискретной случайной величины имеет ступенчатый вид.

Покажем это на примере.

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример. Дискретная случайная величина Х задана законом распределения

Найти функцию распределения F(x) и начертить ее график.

Решение. Сначала определим значения функции распределения F(x) для характерных точек X = xi , а затем построим график функции.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

Если х 0, то F(х) = 0 (третье свойство).

Если 0 < x 1, то F(х) = 0,16. Действительно, Х может принять значение 0 с вероятностью 0,16.

Если 1 < x 2, то F(х) = 0,64. Действительно, если х1 удовлетворяет неравенству 1 < x1 2, то F(x1) равно вероятности события Х < x1, которое может быть осуществлено, когда Х примет значение 0 (вероятность этого события равна 0,16) или значение 1 (вероятность этого события равна 0,48). Поскольку эти два события несовместны, то по теореме

сложения вероятность события Х < x1 равна сумме вероятностей 0,16 и 0,48.

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, имеем:

F(0) = P(X < 0) = 0.

F(1) = P(X < 1) = P(X = 0) = 0,16;

F(2) = P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,16 + 0,48 = 0,64;

Если х > 2, то F(x) = 1.

Результаты вычислений F(Х) сведем в таблицу

36

Теория вероятностей и математическая статистика

Аналитически данная функция распределения

F(х) = Р(Х<х) записывается следующим образом:

0 при х ≤ 0,

0,16 при 0 < ≤ 1,= 0,64 при 1 < ≤ 2,

1 при > 2.

37

Теория вероятностей и математическая статистика

Аналитически данная функция распределения F(х) = Р(Х<х) записывается следующим образом:

38

Теория вероятностей и математическая статистика

График функции распределения дискретной случайной величины

39

Теория вероятностей и математическая статистика

Для дискретной случайной величины приращение

функции распределения в точке xi равно вероятности p(xi) — в этой точке функция

распределения F(x) претерпевает скачок на величину p(xi).

40