1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_10_22_лекц_1К
.pdf
Теория вероятностей и математическая статистика
Из анализа свойств функции распределения F(x) и рассмотренного примера следует, что по мере увеличения значения аргумента растет значение функции распределения — суммируются
вероятности p(xi) значений случайной величины X.
На этом основании функцию распределения F(x)
еще называют интегральным законом распределения случайной величины X.
41
Теория вероятностей и математическая статистика
С увеличением числа значений случайной величины X возрастает число скачков на графике функции распределения F(x), но при этом уменьшаются величины этих скачков.
В пределе |
при n → ∞ |
число значений |
случайной |
величины X |
неограниченно |
возрастает, величины скачков стремятся к нулю и функция распределения F(x) прерывной случайной величины становится непрерывной функцией.
42
Теория вероятностей и математическая статистика
F(x)
F(b)
F(b) – F(a) = P(a x < b)
F(a)
a |
|
b |
|
|
|
Непрерывная функция распределения
43
Теория вероятностей и математическая статистика
Функция |
распределения |
универсальна, |
она |
существует и для дискретных, и для непрерывных случайных величин — в первом случае она имеет вид скачкообразно изменяющейся разрывной функции со скачками, равными p(xi) в точках xi, а во втором случае является непрерывной функцией.
В обоих случаях функция распределения изменяется в пределах от нуля до единицы.
44
Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 1.
1. Случайная величина X задана функцией распределения
|
|
|
|
0 при х ≤ −1, |
||
= |
|
+ |
1 |
при − 1 < 2, |
||
|
|
|
|
|||
3 |
3 |
|||||
1 при > 2.
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение, заключенное в интервале (0,1) .
45
Теория вероятностей и математическая статистика
Задача 1.
Решение: Так как на интервале (0,1) по условию
F(x) = 3 + 13 ,
используем свойство функции распределения
Р(а Х<b) = F(b) – F(а) = (13 + 13) - (03 + 13) = 2/3 – 1/3 = 1/3.
Ответ: 1/3.
46
Теория вероятностей и математическая статистика
10. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
10.1. Определение плотности распределения
Способ задания случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.
Непрерывную случайную величину можно задать, используя другую функцию, которую называют
плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).
47
Теория вероятностей и математическая статистика
10. ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НЕПРЕРЫВНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
10.1. Определение плотности распределения
Способ задания случайной величины с помощью функции распределения не является единственным.
Непрерывную случайную величину можно задать, используя другую функцию, которую называют
плотностью распределения или плотностью вероятности (иногда ее называют дифференциальной функцией).
48
Теория вероятностей и математическая статистика
Плотность вероятности (плотность распределения) f(x) случайной величины X имеет смысл только для непрерывных случайных величин и определяется как предел отношения вероятности попадания случайной величины X на отрезок* [х, х+ х] к длине
этого отрезка, когда последняя стремится к нулю
= lim ( , +∆ ). (10.1) ∆ →0 ∆
*множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству a x b.
49
Теория вероятностей и математическая статистика
Выразим вероятность попадания случайной величины X на отрезок [x, x+Δx] как приращение функции распределения F(x) на этом отрезке:
= lim (F(x + ∆x) − F(x))/∆x = |
( ) |
= ′( ). |
|
|
|||
∆ →0 |
|
||
|
|
(10.2) |
50