1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_8_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Лекция 8

1 курс. 4 зач.ед.

144 часа (36 час. лекц., 36 час. практич. зан., 72 час. самост. раб.). Экзамен.

1

Теория вероятностей и математическая статистика

6.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Математическим ожиданием* дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.

*Понятие и термин «математическое ожидание» (МО) ввел

Гюйгенс в мемуарах «О расчете в азартных играх» (1657).

Современный термин МО ввел Лаплас (1795).

2

Теория вероятностей и математическая статистика

Вывод: Зная лишь математическое ожидание

случайной величины, нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания.

Таким образом, математическое ожидание не

характеризует полностью случайную величину.

3

Теория вероятностей и математическая статистика

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданиям.

X — М(X).

4

8 Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Математическое ожидание отклонения равно нулю:

М[Х — М(Х)] = 0.

5

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Задан закон распределения дискретной случайной величины X :

Убедимся, что математическое ожидание отклонения равно нулю.

6

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. Шаг 1. Найдем математическое ожидание X:

М(Х) = 1 0,2 + 2 0,8 = 1,8.

Шаг 2. Найдем возможные значения отклонения, для чего из возможных значений X вычтем математическое ожидание М(X):

1 - 1,8 = - 0,8;

2 - 1,8 = 0,2.

7

Теория вероятностей и математическая статистика Шаг 3. Напишем закон распределения отклонения:

Шаг 4. Найдем математическое ожидание отклонения:

М[Х - М(X)] = (-0,8) 0,2 + 0,2 0,8 = 0.

Итак, математическое ожидание отклонения равно нулю, как и должно быть.

8

Теория вероятностей и математическая статистика

6.6. Дисперсия дискретной случайной величины

На практике часто требуется оценить рассеяние

возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения.

Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.

9

Теория вероятностей и математическая статистика

На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение.

Однако такой путь ничего не даст, так как среднее

значение отклонения, т. е. М[Х—М(Х)], для любой случайной величины равно нулю.

10