1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_8_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Обычно для измерения некоторой

физической величины производят несколько измерений, а затем находят среднее арифметическое полученных чисел, которое принимают за приближенное значение измеряемой величины.

Покажем, что если измерения производятся в одних и тех же условиях, то:

а) среднее арифметическое дает более надежный результат, чем отдельные измерения;

б) с увеличением числа измерений надежность этого результата возрастает.

51

Теория вероятностей и математическая статистика

Решение. а) Известно, что отдельные измерения дают неодинаковые значения измеряемой величины.

Результат каждого измерения зависит от многих случайных причин (изменение температуры, колебания прибора и т. п.), которые не могут быть заранее полностью учтены.

52

Теория вероятностей и математическая статистика

Поэтому можно рассматривать возможные

результаты n отдельных измерений как случайные величины X1, X2, … Xn (индекс указывает номер измерения).

Эти величины имеют одинаковое распределение вероятностей (измерения производятся по одной и той же методике и теми же приборами), а следовательно, и одинаковые числовые характеристики; кроме того, они взаимно независимы (результат каждого отдельного измерения не зависит от остальных измерений).

53

Теория вероятностей и математическая статистика

Мы уже знаем, что среднее арифметическое таких

величин имеет меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

Иначе говоря, среднее арифметическое оказывается

более близким к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.

Это и означает, что среднее арифметическое

нескольких измерений дает более надежный результат, чем отдельное измерение.

54

Теория вероятностей и математическая статистика

б) Нам уже известно, что при возрастании числа

отдельных случайных величин рассеяние среднего арифметического убывает. Это означает, что с увеличением числа измерений среднее арифметическое нескольких измерений все менее отличается от истинного значения измеряемой величины.

Таким образом, увеличивая число измерений,

получают более надежный результат.

55

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 2. Если среднее квадратическое отклонение отдельного измерения = 6 м, а всего произведено n = 36 измерений, то в этом случае среднее квадратическое отклонение среднего арифметического этих измерений равно лишь 1 м.

Действительно,

( ) = / = 6/ = 1.

56

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, среднее арифметическое

нескольких измерений более близко к истинному значению измеряемой величины, чем результат отдельного измерения.

57

Теория вероятностей и математическая статистика

7.4. Начальные и центральные теоретические моменты

Рассмотрим дискретную случайную величину X, заданную законом распределения:

Найдем математическое ожидание X2:

M(Х2) = 1 0,6 + 4 0,2 + 25 0,19 + 100000 0,01 = 106,15.

Видим, что М(X2) значительно больше М(X).

58

Теория вероятностей и математическая статистика

Это объясняется тем, что после возведения в квадрат возможное значение величины X2 , соответствующее значению х = 100 величины X, стало равным 10000, т. е. значительно увеличилось; вероятность же этого значения мала (0,01).

Из этого следует, что переход от М(X) к М(X2)

позволяет лучше учесть влияние на математическое ожидание тех возможных значений, которые велики и имеют малую вероятность.

59

Теория вероятностей и математическая статистика

Таким образом, если величина X имеет несколько больших и маловероятных значений, то переход к величине X2, а тем более к величинам X3 , X4 и т. д., позволяет еще больше «усилить роль» этих больших, но маловероятных возможных значений.

В таких случаях оказывается целесообразным рассматривать математическое ожидание целой положительной степени случайной величины (не только дискретной, но и непрерывной)

60