1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_8_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

7.2. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин

Пусть известны средние квадратические отклонения нескольких взаимно независимых случайных величин.

Как найти среднее квадратическое отклонение суммы этих величин?

41

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Среднее квадратическое отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин:

42

Теория вероятностей и математическая статистика

7.3. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

Мы показали, что по закону распределения можно

найти числовые характеристики случайной величины.

Отсюда следует, что если несколько случайных

величин имеют одинаковые распределения, то их числовые характеристики одинаковы.

43

Теория вероятностей и математическая статистика

Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин X1, X2, … Xn, которые имеют одинаковые распределения, а следовательно, и одинаковые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и др.).

Наибольший интерес представляет изучение числовых характеристик среднего арифметического этих величин.

44

Теория вероятностей и математическая статистика

Обозначим среднее арифметическое рассматриваемых случайных величин через :

= (X1 + X2 + … + Xn)/n .

характеристиками среднего арифметического и

соответствующими характеристиками каждой отдельной величины.

45

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию а каждой из величин:

М( ) = а.

46

Теория вероятностей и математическая статистика

2. Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии D каждой из величин:

D( ) = D/n. (*)

47

Теория вероятностей и математическая статистика

3. Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в

раз меньше среднего квадратического отклонениякаждой из величин:

( ) = / . (**)

48

Теория вероятностей и математическая статистика

Общий вывод из формул (*) и (**):

Среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина.

49

Теория вероятностей и математическая статистика

Этот вывод очень важен для практики. Особенно важен в области точных наук. Поэтому на него следует обратить внимание и физикам, и радиофизикам, и инноватикам.

Покажем это.

50