1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_8_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:

D(С + Х) = D(Х).

Следствие 2 является результатом свойств 1 и 3, а также объясняется тем, что величины X и Х + С отличаются

лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.

31

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:

D(Х - Y) = D(Х) + D(Y).

32

Теория вероятностей и математическая статистика

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (испытания Бернулли, биномиальное распределение).

Чему равна дисперсия числа появлений события в этих испытаниях?

33

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

D(X) = npq.

34

Теория вероятностей и математическая статистика

Замечание. Так как в рассматриваемом случае величина X распределена по биномиальному закону, то данную теорему можно сформулировать и так:

Дисперсия биномиального распределения с параметрами n и р равна произведению npq.

35

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Производятся 10 независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события равна 0,6. Найти дисперсию случайной величины X — числа появлений события в этих испытаниях.

Решение. По условию, n = 10, р = 0,6 . Очевидно, вероятность непоявления события

q = 1 - 0,6 = 0,4,

Искомая дисперсия

D(X) = npq = 10 0,6 0,4 = 2,4.

36

Теория вероятностей и математическая статистика

7.1. Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии используют среднее квадратическое отклонение (Х).

37

Теория вероятностей и математическая статистика

Легко показать, что дисперсия имеет размерность, равную квадрату размерности случайной величины.

Так как среднее квадратическое отклонение равно

квадратному корню из дисперсии, то размерность

(Х) совпадает с размерностью X.

38

Теория вероятностей и математическая статистика

Поэтому в тех случаях, когда желательно, чтобы

оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратическое отклонение, а не дисперсию.

Например, если X выражается в метрах, то (Х) будет выражаться также в метрах, а D(Х) — в квадратных метрах.

39

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1. Случайная величина X задана законом распределения

Найти среднее квадратическое отклонение (X).

Решение. Шаг 1. Найдем математическое ожидание X :

М(Х) = 2 0,1 + 3 0,4 + 10 0,5 = 6.4.

Шаг 2. Найдем математическое ожидание X2 :

M(X2) = 22 0,1 + 32 0,4 + 102 0,5 = 54.

Шаг 3. Найдем дисперсию:

D(X) = M(X2) — [M(X)]2 = 54 — 6,42 = 13,04.

Шаг 4. Искомое среднее квадратическое отклонение

40