1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_8_22_лекц_1К
.pdfТеория вероятностей и математическая статистика
Это свойство объясняется тем, что одни возможные отклонения положительны, а другие — отрицательны; в результате их взаимного погашения среднее значение отклонения равно нулю.
11
Теория вероятностей и математическая статистика
Поэтому целесообразно заменить возможные
отклонения их абсолютными значениями или их квадратами.
12
Теория вероятностей и математическая статистика
Использование абсолютных величин иногда приводит к серьезным затруднениям.
Поэтому чаще всего вычисляют среднее значение
квадрата отклонения, которое и называют
дисперсией.
13
Теория вероятностей и математическая статистика
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(Х) = М[Х—М(X)]2.
14
Теория вероятностей и математическая статистика
Пусть |
случайная |
|
величина |
задана |
законом |
|||||
распределения |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
x1 |
|
x2 |
|
… |
|
xn |
|
|
p |
|
p1 |
|
p2 |
|
… |
|
pn |
|
Тогда квадрат отклонения имеет следующий закон распределения:
[Х-М(Х)]2 |
[х |
-М(Х)]2 |
[х |
-М(Х)]2 |
… |
[х |
-М(Х)]2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
n |
|
p |
|
p1 |
|
p2 |
… |
|
pn |
15
Теория вероятностей и математическая статистика
И по определению дисперсии:
D(X) = M[Х-М(Х)]2 =
= [х -М(Х)]2p + [х -М(Х)]2p + ... + |
[х |
-М(Х)]2p . |
||
1 |
1 2 |
2 |
n |
n |
Таким образом, чтобы найти дисперсию, достаточно
вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.
16
Теория вероятностей и математическая статистика
Замечание. Из определения дисперсии следует, что
дисперсия дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина*.
*В дальнейшем мы покажем, что дисперсия непрерывной
случайной величины также есть постоянна величина.
17
Теория вероятностей и математическая статистика
Пример 1. Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения:
X |
1 |
2 |
5 |
|
|
|
|
p |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
Решение. Шаг 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х:
М(Х) = 1 0,3 + 2 0,5 + 5 0,2 = 2,3.
Шаг 2. Найдем все возможные значения квадрата отклонения:
[x1 - М(X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69; [x2 - М(X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;
[x3 - М(X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.
Шаг 3. Напишем закон распределения квадрата отклонения:
[X —M(Х)]2 |
1,69 |
0,09 |
7,29 |
р |
0,3 |
0,5 |
0,2 |
|
|
|
|
По определению, D(Х) = 1,69 0,3 + 0,09 0,5 + 7,29 0,2 = 2,01.
18
Теория вероятностей и математическая статистика
Как видим, вычисление, основанное на определении дисперсии, относительно громоздко.
19
Теория вероятностей и математическая статистика
6.7. Формула для вычисления дисперсии
Для вычисления дисперсии удобно пользоваться следующей теоремой.
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее математического ожидания:
D(Х) = М(Х2) — М2(Х).
20