1 курс / 1 курс 2 семестр / Теория_вероятностей_8_22_лекц_1К

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1 (вариант 1). Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения:

Решение. Шаг 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х:

М(Х) = 1 0,3 + 2 0,5 + 5 0,2 = 2,3.

Шаг 2. Найдем все возможные значения квадрата отклонения: [x1 - М(X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;

[x2 - М(X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09; [x3 - М(X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.

Шаг 3. Напишем закон распределения квадрата отклонения:

Шаг 4. По определению, D(Х) = 1,69 0,3 + 0,09 0,5 + 7,29 0,2 = 2,01.

21

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 1 (вариант 2). Найти дисперсию случайной величины X , которая задана следующим законом распределения:

Решение. Шаг 1. Найдем математическое ожидание М ( X ) :

М(Х) = 1 0,3 + 2 0,5 + 5 0,2 = 2,3.

Шаг 2. Напишем закон распределения случайной величины X2 :

D(Х) = М(Х2) — [М (Х)]2 = 7,3 — (2,3)2 = 2,01.

22

Теория вероятностей и математическая статистика

Если случайные величины X и Y имеют одинаковые возможные значения и одно и то же математическое ожидание, то дисперсии этих величин не обязательно равны (хотя возможные значения обеих величин одинаково рассеяны вокруг своих математических ожиданий!).

23

Теория вероятностей и математическая статистика

Дело в том, что одинаковые возможные значения

рассматриваемых величин имеют, вообще говоря, различные вероятности, а величина дисперсии

определяется не только самими возможными значениями, но и их вероятностями.

24

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 2. Сравнить дисперсии случайных величин, заданных законами распределения:

Решение. Легко убедиться, что

М(Х) = М(Y) = 0,97; D(X) 3,69, D(Y) 1.21.

Итак, возможные значения и математические ожидания X и Y одинаковы, а дисперсии различны,

причем D(X) > D(Y).

Этот результат можно было предвидеть без вычислений, глядя лишь на законы распределений.

25

Теория вероятностей и математическая статистика

6.8. Свойства дисперсии

Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С

равна нулю:

D(С) = 0 .

Свойство понятно, если учесть, что постоянная

величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния не имеет.

26

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D(СХ) = С2D(Х).

27

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 2 становится ясным, если принять во внимание, что при |С| > 1 величина СХ имеет возможные значения (по абсолютной величине), бóльшие, чем величина X . Отсюда следует, что эти значения рассеяны вокруг математического ожидания М(СХ) больше, чем возможные значения X вокруг М(Х), т. е. D(СХ) > D(Х). На против, если 0 < |C| < 1 , то D(СХ) < D(X).

28

Теория вероятностей и математическая статистика

Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D(Х+У) = D(Х) + D(У).

29

Теория вероятностей и математическая статистика

Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин.

Например, для трех слагаемых имеем

D(X + Y + Z) = D(Х) + D(Y) + D(Z).

30