Теория вероятностей математическая статистика
ЗАДАЧИ НА ФОРМУЛУ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ
61
Теория вероятностей и математическая статистика
Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вn, образующих полную группу, равна сумме
произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А:
Р(А) = Р(В1)РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) +...
... + Р(Вn)РВn(А).
Эту формулу называют «формулой полной вероятности».
Формула полной вероятности – следствие теорем сложения и умножения вероятностей.
62
Теория вероятностей математическая статистика
Задача 1. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из нее наудачу извлечен один шар. Найти вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
63
Теория вероятностей математическая статистика
Решение. Обозначим через А событие – извлечен белый шар.
1 шаг. Сформируем предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: В1 – белых шаров нет, В2 – один белый шар, В3 – два
белых шара. Оценим их вероятности.
Поскольку имеется три равновероятные гипотезы, которые образуют полную группу, то сумма вероятностей этих гипотез равна единице, откуда вероятность каждой гипотезы равна 1/3. Т.е. Р(В1) = Р(В2) =
Р(В3) = 1/3.
2 шаг. Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров РВ1(А)
= 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар РВ2(А) = 2/3.
Условная вероятность того, что будет извлечен белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара РВ3(А) =
3/3 = 1.
64
Теория вероятностей математическая статистика
3 шаг. Искомую вероятность того, что будет извлечен белый шар, найдем по формуле полной вероятности:
Р(А) = Р(В1) РВ1(А) + Р(В2) РВ2(А) + Р(В3) РВ3(А) = = 1/3 1/3 + 1/3 2/3 + 1/3 1 = 2/3.
65
Теория вероятностей математическая статистика
Задача 2. Имеются три одинаковых с виду урны. В первой а белых и b черных шаров; во второй с белых и d черных; в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый.
66
Теория вероятностей математическая статистика
Решение• . Пусть событие А – появление белого шара.
1 шаг. Сформируем гипотезы: В1 – выбор первой урны; В2 – выбор второй урны; В3 – выбор третьей урны. Оценим вероятности гипотез.
Р(В1) = Р(В2) = Р(В3) = 1/3.
2 шаг. Определим условные вероятности появления события А. РВ1(А) = ; РВ2(А) = ; РВ3(А) = 1.
3 шаг. По формуле полной вероятности определим искомую вероятность:
Р(А) = + + 1 = .
67
Теория вероятностей математическая статистика
ЗАДАЧИ НА ФОРМУЛЫ БЕЙЕСА
68
Теория вероятностей и математическая статистика
•Условная вероятность любой гипотезы Bi (i=1, 2, …, n) может
быть вычислена по формуле
Полученные формулы носят название формул Бейеса (по имени английского математика, который их вывел в 1764 г.) или теорем
гипотез.
Формулы Бейеса позволяют переоценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в итоге которого появилось событие А.
69
Теория вероятностей математическая статистика
Задача 3. Имеются три урны: в первой из них a белых шаров и b черных; во второй c белых шаров и d черных; в третьей k белых шаров (черных нет). Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут из первой, второй или третьей урны.
70