- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей и математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
- •Теория вероятностей математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика
Вычислим вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n — k раз.
11
Теория вероятностей и математическая статистика
•При этом не требуется, чтобы событие А
повторилось ровно k раз в определенной последовательности.
Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: ААА, ААА, ААА, ААА.
Запись ААА означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т. е. наступило противоположное событие ; соответственный смысл имеют и другие записи.
12
Теория вероятностей и математическая статистика
Искомую вероятность обозначим Рn(k).
Например, символ Р5(3) означает вероятность того, что в
пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.
13
Теория вероятностей и математическая статистика
Примеры задач, связанных с испытаниями Бернулли
1. Производится n бросаний симметричной монеты на гладкую поверхность стола. При каждом бросании герб (цифра) может появиться с одной и той же вероятностью p = 0,5. Требуется определить вероятность появления герба (цифры) ровно k раз из n бросаний ( k = 0, ..., n ).
14
Теория вероятностей и математическая статистика
Примеры задач, связанных с испытаниями Бернулли
2. Производятся стендовые испытания n однотипных агрегатов на надежность в течение времени t. Вероятность безотказной работы одного агрегата p(t) известна и одинакова для всех агрегатов. Требуется определить вероятность того, что все n агрегатов успешно пройдут стендовые испытания.
15
Теория вероятностей и математическая статистика
Примеры задач, связанных с испытаниями Бернулли
3. Производится стрельба в тире по мишени n выстрелами с индивидуальным прицеливанием при каждом выстреле с одной дистанции. Вероятность попадания в «десятку» для данного стрелка оценивается величиной p. Требуется определить вероятность попадания в «десятку» k раз при n выстрелах (k = 0, ..., n).
16
Теория вероятностей и математическая статистика
Все эти задачи можно решить с помощью формулы Бернулли.
17
Теория вероятностей и математическая статистика
18
Теория вероятностей и математическая статистика
•Бернулли показал, что вероятность появления
события А k раз в n независимых испытаниях определяется выражением
или
где q=1-p, а k = 0, … ,n.
Эту формулу называют формулой Бернулли.
19
Теория вероятностей и математическая статистика
•Данное распределение вероятностей
кроме того, называют биномиальным распределением, так как вероятности формально могут быть получены как коэффициенты в разложении бинома Ньютона*.
*бином Ньютона: |
20 |
|