Теория вероятностей и математическая статистика
Сформулируем аксиомы теории вероятностей с использованием теории множеств.
Каждому событию А поставим в соответствие некоторое число, называемое вероятностью события А, т.е. Р(А). Так как любое событие есть множество, то
вероятность события есть функция множества.
51
Теория вероятностей и математическая статистика
Аксиомы, определяющие вероятность*:
А.1. Каждому событию А поставлено в соответствие неотрицательное действительное число Р(А). Это число называется вероятностью события А.
А.2. Вероятность достоверного события равна единице:
Р( ) = 1.
А.3. Вероятность наступления хотя бы одного из попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. если AiAj = , то
P(A1+A2+…+An) = P(A1) + P(A2) +…+ P(An).
* Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. М.:«Наука», 1974.
52
Теория вероятностей и математическая статистика
•Исходя из аксиом А1, А2, А3, свойства вероятностей и зависимости между ними выводят в качестве теорем:
1.P() = 1 – P(A).
2.P( ) =0.
3.0 P(A) 1.
4.P(A) P(B), если А В.
5.P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
6.P(A + B) P(A) + P(B).
В случае произвольного (не обязательно конечного) пространства элементарных событий аксиому А.3 необходимо заменить расширенной аксиомой сложения A3’ (которую нельзя вывести из аксиомы А.3.
53
Теория вероятностей и математическая статистика
•A3’ Если имеется счетное* множество несовместных событий А1, А2, …, Аn, …, (АiАj, = при i j), то
*Множество называется счетным, если его элементы можно перенумеровать натуральными числами.
54
Теория вероятностей и математическая статистика
•Сформулированные аксиомы не определяют условной вероятности одного события относительно другого, которая вводится по определению.
Определение. Условная вероятность события В
относительно события А есть отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, т.е.
если Р(А) 0.
Из этого определения автоматически следует теорема умножения вероятностей для любых событий.
55
Теория вероятностей и математическая статистика
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЙ ДЕЙСТВИЙ НАД СОБЫТИЯМИ С ПОМОЩЬЮ ДИАГРАММ ВЕННА
56
Теория вероятностей и математическая статистика
Систематизируем полученные ранее сведения по диаграммам Венна. Мы уже знаем, что попадание точки в прямоугольник, обозначенный буквой , представляет собой достоверное событие, а попадание точки в какую- либо фигуру внутри прямоугольника - какое-либо случайное событие.
57
Теория вероятностей и математическая статистика
•
Пусть событие А состоит в попадании точки в круг малого диаметра (рис.1.3а на следующем слайде), а событие В – попадание точки в круг большего диаметра (рис.1.3б). Тогда сумма событий А+В означает попадание точки во всю заштрихованную область обоих кругов (рис.1.3в), а произведение АВ – в общую часть кругов (рис.1.3г).
На рис.1.3,д,е заштрихованные области показывают события и , противоположные событиям А и В, а на рис.1.3, ж и з – разности событий А-В и В-А.
58
Теория вероятностей и математическая статистика
59
Теория вероятностей математическая статистика
ЗАДАЧИ НА ПОВТОРЕНИЕ РАЗДЕЛА 1
60