Теория вероятностей и математическая статистика

21

Теория вероятностей и математическая статистика

Пример 4. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью p = 0,60 может произойти событие A. Определить вероятность появления события A не менее трех раз.

22

Теория вероятностей и математическая статистика

•Пример 4. Производится четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью p = 0,60 может произойти событие A. Определить вероятность появления события A не менее трех раз.

Решение. Обозначим B — событие, состоящее в появлении события A не менее трех раз в четырех независимых опытах. Тогда вероятность события B определяется как сумма вероятностей появления события A три или четыре раза P(B) = P4(3) + P4(4).

По формуле Бернулли получим решение задачи P(B) = = 4 0,63 0,4 + 0,64 = 0,476.

23

Теория вероятностей и математическая статистика

•Легко видеть, что пользоваться формулой Бернулли при больших значениях n достаточно трудно, так как формула требует выполнения действий над громадными числами.

С увеличением n значение n! возрастает очень быстро. Например,

10! = 3628800, а 20! = 2 432 902 008 176 640 000 2,4 1018.

24

Теория вероятностей и математическая статистика

•Например, для вычисления вероятности Р50(30) надо вычислить выражение

, где n = 50, k = 30, p = 0,1. В этом случае:

Р50(30) = 50!/(30!20!) (0,1)30 (0,9)20, где

50! = 30414093 1057, 30! = 26525286 1025, 20! = 24329020 1011.

25

Теория вероятностей и математическая статистика

•Естественно возникает вопрос: нельзя ли вычислить интересующую нас вероятность, не прибегая к формуле Бернулли?

Можно. Локальная теорема Лапласа дает

асимптотическую* формулу, которая позволяет приближенно найти вероятность появления события ровно k раз в n испытаниях, если число испытаний достаточно велико.

*функцию (х) называют асимптотическим приближением функции f(x), если .

26

Теория вероятностей и математическая статистика

Для частного случая р=1/2 асимптотическую формулу в 1730 году получил Абраха́м де Муа́вр, а в 1783 году Пьер-Симо́н де Лапла́с обобщил формулу Муавра для произвольного р, отличного от 0 и 1.

Поэтому теорему, о которой идет речь, иногда называют

теоремой Муавра-Лапласа.

27

Теория вероятностей и математическая статистика

•Теорема Муавра-Лапласа*.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(k) того, что событие А появится в

n испытаниях ровно k раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции

при х = (k—nр)/.

*Более правильное название теоремы: Локальная

теорема Лапласа.

28

Теория вероятностей и математическая статистика

Теорема• Муавра-Лапласа.

Вероятность Рn(k) того, что событие А появится в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна

где х = (k—nр)/.

29

Теория вероятностей и математическая статистика

•Значения функции , соответствующие положительным значениям аргумента х помещены в приложениях 1 учебника и задачника Гмурмана В.Е., а также в файле «Функция_Лапласа.pdf», который размещен в папках Файлы и в LMS и в Microsoft Teams.

Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция (х) четна, т. е.

(-х) = (х).

30