Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1312 вуза, 5247 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Российский химико-технологический университет им. Д.И. Менделеева
Предмет:
Компьютерное моделирование химических процессов
Файл:

Лекции ХТП / Тема-2

.pdf
Скачиваний:
29
Добавлен:
13.06.2022
Размер:
1.7 Mб
Скачать
☆

41 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

§4. Регрессионный и корреляционный анализ

Определение коэффициентов линейной или линеаризованной модели вида:

m

x

y a j j

ˆ

 

j 0

 

методом аппроксимации (конкретно МНК) приводит к матричной формуле:

 

T

 

1

T

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

где значения элементов матрицы независимых переменных

входных переменных

и вида функций

x

:

 

x

 

 

 

 

0 x1

1 x1

...

m x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

x

...

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

0

2

1

2

 

 

m

2

 

n m 1

 

 

...

... ...

 

 

 

 

...

 

 

 

 

 

x

 

x

...

 

m

x

 

 

 

 

0

n

1

n

 

 

n

 

зависят только от

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

42 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Вектор экспериментальных значений (вектор наблюдений)

y

присутствует в

этом матричном соотношении в качестве линейного сомножителя.

Поэтому целесообразно ввести матрицу L

 

T

 

1

 

T

 

 

 

 

 

 

L

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

После чего матричную формулу МНК для определения коэффициентов модели можно записать:

ˆ

 

a Ly

 

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

43 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

 

 

 

 

 

 

 

 

ˆ

 

Статистический анализ результатов вычисления

a

необходим, так как

 

вектор

y

 

, который влияет на значения

ˆ

, является случайным вектором (это

 

 

 

a

приводит к тому, что

a

- также случайный вектор).

 

Причины случайного характера вектора измерений:

y

 

,

 

полученного в результате опытных

•используется случайная выборка

•результаты измерения каждого

 

y

y

 

i

 

;

- случайные величины.

Один из видов статистического анализа – регрессионный анализ – предполагает, что компоненты вектора - случайныеyвеличины, распределённые по нормальному закону распределения, т.е. для плотности распределения (i – го измерения) будетYi справедливо:

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

44 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

 

 

 

1

 

1

Y m

y

 

 

 

f Y

 

 

exp

i

 

i

 

i 1,...n,

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

Y

 

 

 

 

т.е. числовыми характеристиками случайной величины Yi будут:

m

yi

-

математическое ожидание

 

 

 

 

 

 

2

-

дисперсия

 

yi

 

 

 

 

 

yi

 

2

- среднеквадратичное отклонение или стандарт.

 

 

 

yi

 

Допущение о нормальном законе распределения компонентов вектора Первое допущение регрессионного анализа.

y

 

 

- это

Второе допущение регрессионного анализа – о неслучайности компонентов вектора x , т.е. xi - неслучайные величины.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

45 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Из этих двух допущений следует, что в соответствии со свойством линейности нормального закона распределения

компоненты вектора

a

aLy

вуравнении регрессии также являются случайными

величинами, распределёнными по нормальному закону, т.е. также могут характеризоваться следующими числовыми характеристиками:

m

a

 

2

 

a

j

j

-математическим ожиданием

-дисперсией

 

a

 

j

- среднеквадратичным отклонением или стандартом

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

46 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Третье допущение регрессионного анализа заключается в допущении об

однородности дисперсии случайных величин

Y

 

 

i . Свойство однородности

предполагает несущественное отличие дисперсий

Y

-ых, что позволяет

i

усреднять их оценки или значения, полученные по ограниченным выборкам и распространять на всю исследуемую область, и проверяется с помощью специальных критериев, которые здесь не рассматриваются.

В соответствии с регрессионным анализом всегда рассчитывается оценка

коэффициентов

ˆ a

ˆ

э

a Ly

 

в результате получается приближенная зависимость:

m

yˆ aˆ j j x .

j 0

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

47 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для получения строгой зависимости и т.к. зависимость математического ожидания

уравнением регрессии:

Y – mY

случайная величина – необходима

от значений

x

, называемая

 

 

x

a

j

 

 

 

 

 

m

 

 

x

m

 

 

 

 

a

 

 

 

Y

 

x

 

j

j

 

 

 

 

j 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-истинные значения коэффициентов регрессии, называемых теоретическими коэффициентами регрессии;

m

y

m

 

 

Y

x

 

 

 

-условное математическое ожидание случайной величины Y.

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

48Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

4.1Этапы регрессионного анализа

1.Определение оценок коэффициентов регрессии МНК

2.Определение значимости коэффициентов регрессии, т.е. существенного отличия их от нуля с помощью t – критерия Стьюдента

3.Определение адекватности уравнения регрессии с помощью F – критерия Фишера

4.2 Определение числовых характеристик случайных величин измерений выходной переменной

m

M Y

 

y

 

x

 

 

- вектор математических ожиданий

Для дисперсий yi и y j справедливо:

y2

M yi

my 2

i 1,...n

i

 

i

 

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

49 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию

произведения Yi

my Yj my

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

 

 

 

COVyi y j

M Yi myi

Yj

my j

 

 

i 1,...n;

j 1,...n;

i j

 

Для независимых нормально - распределённых случайных величин

Y и Y

j

i

COV

0

y y

j

i

Для нормально-распределённых случайных величин вместо размерной

величины

COV

целесообразно пользоваться коэффициентом корреляции:

y y

 

i

j

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования

50 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

r

 

 

COV

y y

 

i 1,...n;

j 1,...n

 

 

 

 

 

 

i

 

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

i

 

 

y

j

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Для линейно-зависимых случайных величин

y

i

и y

j

 

 

А для независимых -

ryi y

ryi y

1

j

0 j

 

 

 

Для дисперсий

2

в n

y

дисперсий – ковариаций:

экспериментальных точках создаётся матрица

COVy M y my y my T

РХТУ им. Д.И. Менделеева

Кафедра информатики и компьютерного моделирования
Соседние файлы в папке Лекции ХТП
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности