Лекции ХТП / Тема-2
.pdf
111 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Для проведения регрессионного анализа при пренебрежении целым рядом несущественных взаимодействий факторов достаточно проводить меньшее число опытов. В этом случае можно реализовать часть ПФЭ, т.н. дробный факторный эксперимент (ДФЭ), который здесь не рассматривается.
ОЦКП и обработка его результатов
Ортогональный центральный композиционный эксперимент (ОЦКП) относится к
экспериментам II – го порядка, так как описывающее его уравнение |
yˆ |
|
|
||
|
|
включает факторы в квадрате и поэтому может описывать поверхности функций отклика в окрестности их экстремальных значений.
Для двух факторов ( |
x |
и |
x |
|
) с учётом только двойного взаимодействия |
1 |
2 |
факторов соответствующая эмпирическая модель может быть записана: yˆ II a0 a1 x1 a2 x2 a12 x1 x2 a11x12 a22 x22
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
112 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
В соответствии с методикой ортогонального центрального композиционного плана эксперимента (ОЦКП) здесь, также как и для ПФЭ, осуществляется кодирование факторов по приведённой выше схеме, и для обеспечения ортогонального свойства матрицы планирования эксперимента в уравнение
регрессии |
ˆ |
|
включается некоторая постоянная S. |
y |
|
В результате уравнение регрессии при m = 2 принимает вид:
ˆ |
~ |
z |
|
~ |
|
~ |
z |
|
~ |
z z |
|
~ |
z |
2 |
~ |
z |
2 |
S |
|||
y a |
0 |
0 |
a z |
a |
2 |
2 |
a |
2 |
a |
|
S a |
22 |
2 |
||||||||
|
|
|
1 |
1 |
|
|
12 |
1 |
11 |
1 |
|
|
|
||||||||
Для определения большего числа кодированных коэффициентов, чем при обработке ПФЭ, и описания поверхности функции отклика вблизи её экстремума («почти стационарной области»), количество опытов в этом случае увеличивается.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
113 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
При этом опыты, проводимые при ПФЭ |
(n |
|
«звёздных» точках факторного пространства
плана |
(n |
) |
с координатами |
z |
0 |
и |
z |
|
0 |
c |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2
m ) , дополняются опытами в
(n |
2m) |
и опытами в центре |
|
|
«Звёздные» точки в факторном пространстве располагаются на осях координат на расстоянии +α и –α от центра плана эксперимента; причём величина α называется «звёздным» плечом и её значения, так же как величина S, определяются из условия ортогональности матрицы планирования z для ОЦКП.
Общее число опытов N в ортогональном центральном композиционном эксперименте определяется по формуле:
N n n |
n |
, |
|
c |
|
или с учётом приведённых выше равенств:
N 2m 2m nc .
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
114 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Для случая двух факторов (m = 2):
N 8 nc
Расположение опытных точек в факторном пространстве для случая двух факторов в приведённой ранее кодированной системе координат может быть представлено:
( 1; 1)
( 1; 1)
( 1; 1)
(0;0)
( 1; 1)
z1
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
115 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
План проведения экспериментов в этом случае может быть представлен:
Матрица планирования |
z |
представляет собой часть плана проведения |
|
эксперимента без горизонтальных и вертикальных заголовков таблицы и вектора
наблюдения |
y |
|
(правого столбца). |
|
|||
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
116 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
|
|
n |
p |
z |
0 |
z |
1 |
z |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
+1 |
-1 |
-1 |
|||
2 |
m |
2 |
|
+1 |
+1 |
-1 |
|||
|
3 |
|
+1 |
-1 |
+1 |
||||
|
|
|
|||||||
|
|
4 |
|
+1 |
+1 |
+1 |
|||
|
|
5 |
|
+1 |
-α |
0 |
|||
2m |
6 |
|
+1 |
+α |
0 |
||||
|
|
7 |
|
+1 |
0 |
-α |
|||
|
|
8 |
|
+1 |
0 |
+α |
|||
nc |
|
|
+1 |
0 |
0 |
||||
|
|
9 |
|
||||||
|
|
|
|
+1 |
0 |
0 |
|||
|
|
N |
|
+1 |
0 |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
z |
2 |
1 |
|
+1
-1
-1
+1
0
0
0
0
0
0
0
z |
2 |
S |
|
|
|
1 |
|
|
1-S
1-S
1-S
1-S
α2-S
α2-S
-S
-S
-S
-S
-S
z |
2 |
S |
|
|
|
|
2 |
|
1-S
1-S
1-S
1-S
-S
-S
α2-S
α2-S
-S
-S
-S
y |
|
|||
|
|
|
||
y |
|
|||
|
||||
|
|
1 |
||
y |
|
|||
2 |
||||
|
|
|
||
y |
|
|
||
3 |
||||
|
|
|||
y |
|
|
||
4 |
||||
|
||||
y5 |
||||
y |
|
|
||
6 |
||||
|
|
|||
y |
|
|
||
7 |
||||
|
||||
y |
|
|
||
8 |
||||
|
|
|||
y |
|
|||
9 |
||||
|
|
|
||
y |
|
|
N |
||
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
117 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Определение величины «звёздного плеча» α и S из условия ортогональности матрицы планирования
Матрица планирования следующие равенства:
Z
была бы ортогональной, если бы выполнялись
z |
T |
z |
|
S 0 |
( j 1, 2) |
||||
0 |
j |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
z |
|
S |
и |
S 0 |
|||
|
|
|
z |
|
|||||
|
|
|
|
2 |
T |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
||
Раскрывая первое равенство, можно получить:
|
|
|
N |
n |
|
z0T z j |
|
|
zi 0 zij2 zi 0 S n 2α2 NS 0 |
j 1, 2 |
|
S |
|||||
|
|
|
i 1 |
i 1 |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
118 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Откуда:
|
n 2α |
2 |
S |
|
|
N |
|
|
|
|
Раскрывая второе равенство, получаем:
z1 |
T |
z2 |
S z1 |
T |
z2 |
z1 |
T |
S S |
|
z2 |
S |
|
S |
S |
|
|
T |
T |
|||||||||
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
|
n n 2α2 S S n 2α2 NS 2 n 2NS 2 NS 2
n NS 2 0
Откуда:
S |
n |
|
N |
||
|
Последнее выражение используется для определения S.
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
119 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Приравнивая правые части двух выражений для S, можно найти формулу для определения α :
|
|
|
|
|
n 2 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
1 |
|
Nn n |
n |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В результате звёздное плечо α можно определить по формуле:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
N |
|
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
||
|
2 |
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
120 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Определение кодированных коэффициентов регрессии
В соответствии с методом наименьших квадратов эти коэффициенты определяются по матричной формуле:
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
~ |
|
|
|
|
|
, |
где |
||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
a |
C z |
y |
|
|
|||||||
~ |
|
T |
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
C z |
|
|
|
z |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из-за свойства ортогональности матрицы планирования |
z |
необходимо |
|
определить только диагональные элементы информационной матрицы:
~ |
|
T |
|
|
|
|
z |
z, |
а затем диагональные элементы корреляционной матрицы:
~ ~ 1
C
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |