Лекции ХТП / Тема-2
.pdf
11 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Пример. Определить доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью 0,95 располагается истинное значение измеряемого параметра, по результатам восьми титрований х, см3
76,48 |
76,25 |
76,43 |
76,48 |
77,20 |
76,48 |
76,45 |
76,60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Имеем функцию распределения Стьюдента:
n |
|
x xi n ; |
x 76.546 см3 ; |
i 1 |
t07.975 2.365 |
Из таблиц находим |
ν 8 1 7
|
|
|
|
n |
|
|
|
Рассчитываем |
|
X |
|
|
i |
|
|
|
S |
2 |
|
|
(x x) |
2 |
/ ν; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
Получаем доверительный интервал:
S |
2 |
0.5543 / 7 0.079 см |
3 |
X |
|
||
|
|
|
75.546 2.365 
0.079 / 8 mX 76.546 2.365 
0.079 / 8
В результате определен доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью 0,95 располагается истинное значение результата титрования:
76.31 см3 mX 76.79 см3
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
12 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
§2. Элементы корреляционного и регрессионного анализа
Для иллюстрации метода корреляционного анализа рассмотрим две случайные величины Х и Y, для которых известны законы распределения. Предположим, что для них будет справедливо простейшее приближённое уравнение регрессии
y a |
|
a x |
ˆ |
0 |
1 |
|
Представим поле корреляции Y, Х
Y
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
X |
а |
б |
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
13 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Эмпирическое корреляционное отношение, характеризующее тесноту связи между Y и Х
|
|
(n p)S |
2 |
||
η |
1 |
R |
|||
|
|
||||
|
|
|
|
||
|
|
(n 1)S |
2 |
||
|
|
y |
|||
|
|
|
|||
Остаточная дисперсия, характеризующая погрешность уравнения регрессии и рассчитывается по формуле
|
|
|
n |
ˆ |
|
|
|
|
|
эксп |
) |
2 |
|
S |
2 |
|
( yi |
yi |
|
|
i 1 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
R |
|
n p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
р – число значимых коэффициентов регрессии
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
14 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Общая дисперсия (дисперсия относительно среднего значения по экспериментальным данным) определяется
|
|
|
n |
|
S |
2 |
|
|
|
i 1 |
||||
|
|
|||
|
y |
|
|
y
( y |
эксп |
y) |
2 |
i |
|
||
|
|
|
|
n 1 |
|
||
n |
|
|
|
yi |
|
|
|
|
эксп |
|
|
i 1 |
|
|
|
|
n |
|
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
15 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Величина η находится в пределах 0 1 Чем больше величина η, тем сильнее связь между случайными величинами Х и Y
Между случайными величинами обычно существует такая связь, при которой с изменением одной величины меняется распределение другой – стохастическая связь
Изменение случайной величины Y, соответствующее изменению величины Х, разбивается при этом на две компоненты: функциональную (связанную с зависимостью Y от Х) и случайную
•Если первая компонента отсутствует, то величины Y и Х независимы
•Если отсутствует вторая компонента, Y и Х связаны функциональной зависимостью
•При наличии обеих компонент соотношение между ними определяет силу
(тесноту) связи
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
16 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Корреляционное отношение для нелинейных моделей и коэффициент корреляции для линейных моделей - показатели, оценивающие те или иные стороны стохастической связи
Величина
COV |
xy |
M ( X m |
)(Y m |
) 0 |
|
x |
y |
|
называется корреляционным моментом, моментом связи или ковариацией
случайных величин Х и Y
Безразмерная величина
|
|
M ( X m |
|
)(Y m |
) |
|
r |
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
||
XY |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
называется коэффициентом корреляции
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
17 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
При этом выборочный коэффициент корреляции вычисляется по формуле
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
|
ˆ |
|
)(y |
|
ˆ |
|
) |
||
|
|
i |
m |
X |
i |
m |
|||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
Y |
|
||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ˆ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
(n 1)S |
|
S |
|
|
|
|||||
|
|
|
X |
Y |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
n |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
ˆ |
|
|
x |
S |
|
|
|
|
|
ˆ |
|
) |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
m |
X |
|
|
X |
|
|
(x m |
X |
|
|
|||||||||
|
|
n |
i |
|
|
|
n 1 |
i |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
2 |
|
|
ˆ |
|
|
|
|
yi |
SY |
|
|
|
|
ˆ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
mY |
|
|
|
( yi mY ) |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
n i 1 |
|
|
|
|
n 1 i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
18 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Коэффициент корреляции может иметь значение в пределах
При
1 rxy 1
r |
0 |
xy |
|
существует положительная корреляционная связь между величинами Х и Y
При
r |
0 |
xy |
|
связь отрицательная
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
19 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Слабая отрицательная корреляция между Х и Y
r |
0.3 |
xy |
|
Y
X
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сильная положительная корреляция между Х и Y
r |
0.9 |
xy |
|
X
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |
20 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП
Y
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
X
Отсутствие корреляции между Х и Y
r |
0 |
xy |
|
РХТУ им. Д.И. Менделеева |
Кафедра информатики и компьютерного моделирования |