Лекции ХТП / Тема-2

31 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для определения (подгонки) коэффициентов (параметров) модели необходимо, чтобы критерий МНК стал наименьшим.

Задача определения коэффициентов модели сводится к реализации одного из алгоритмов оптимизации для определения минимума критерия МНК:

Именно так решается задача параметрической идентификации для нелинейных моделей.

32 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

В данном случае возможно также воспользоваться необходимым условием экстремума функции многих переменных:

Для определения искомых коэффициентов эта система в общем случае нелинейных уравнений должна быть решена относительно коэффициентов

.

Однако, как показывает практика, решение систем нелинейных уравнений ничуть не проще, чем прямое решение задачи оптимизации с поиском минимума критерия МНК.

33 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Определение выборочных (эмпирических) коэффициентов регрессии для линейных по параметрам моделей (произвольное число входных переменных

Таблица проведения экспериментальных исследований в этом случае имеет вид:

34 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Для линейных или линеаризованных по параметрам моделей необходимо представить критерий МНК в виде:

и, воспользовавшись необходимым условием экстремума функции многих переменных, решать полученную систему линейных алгебраических уравнений

35 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Перегруппировав члены в последней системе уравнений, можно записать СЛАУ в виде:

И, если ввести в рассмотрение информационную матрицу

i 1

то она окажется квадратной, симметричной и значения её элементов зависят

36 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Матрица, зависящая от входных переменных, имеет вид:

Соответственно правую часть рассматриваемой СЛАУ можно записать:

37 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

или в матричном виде:

В результате СЛАУ, решаемая для определения коэффициентов эмпирической модели, может быть представлена:

или в матричном виде:

a b

38 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Если для определения коэффициентов использовать метод обратной матрицы, то получится:

39 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП

Матричная формула для определения коэффициентов линейной регрессии (параметров эмпирической модели):

Таким образом, для определения коэффициентов линейной или линеаризованной регрессионной модели необходимо выполнить следующую последовательность действий:

линеаризованных моделей);

• сформировать и рассчитать компоненты матрицы, зависящей от входных переменных

40 Тема 02: Построение эмпирических статистических моделей ХТП