Konspekt_po_algebre

Добавил:

Way_J Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Алгебра (общая)

Файл:

отношению к сложению для0a +элемент0a =группа,(0 + 0) a = 0a

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.05.2022

Размер:

1.11 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

матрицамент которойI

− список диагональных элементов:

Определение

7.16. Обратнойdiag матрицей

I =

(1, ..., 1);

к квадратнойdiag матрице

AA =

(Δ, ..., Δ).

A называется такая

−1

ЛеммаЗ 7.Bч2, (ончтоисвойстве3AB. Обратная= I.единичнойОбозначается:матрицаматрицы)не всегдаA :=.существуетB1).

ТДеоремак з т7е.л17ь.с Пусть. Элемент

AI = A A

IA = A

тсяарно,матрицас помощью определения умнож;ения2) матриц.

матриц

матрица,−1 ещe существует

A, и существует A

тогда

−1

единственна, .то ассмотриместь существует. леваяКвадратобр

àÿ

= D

обрДатнаяк зDаматрица: åDAлассоциативныйь = I

группу, то ес ь

группоид. Можно−1. êàê óãî íыео расс рицыавлятьобразуютскобки. полу-

DAA

DAA−1

= D(AA−1) = DI = D

−1

Единственность вытекает из того, что все

= A−1

= D.

DAA−1

= (DA)A−1

= IA−1

= A

Теорема 7.18. Пусть матрица

A−1 равны D, их не может быть несколько.

обратная м трица как левая, такAделимневырождена,правая: то есть

|A| 6= 0, тогда существует

ê à ç à å ë

â î. Åñëè ïî

все элементы( B) AB = BA = I.

B := A

−1 è AB = BA = I.

A íà

|A|

, то получим матрицу

§Пусть7.11. данаФормулысистемаКуðàвнениймера

ãäå

Ax = b,

(7.11)

ТеоремаA − (n7×.19n.) Систеквадратнаяма матрица, x, b − (n ×единственное1) олбцы.

невыр ждена. Иными словами,(7.11) всегда имеет

решение,

сли матрица A

ассоциативности:Дкз е л ь

â .

−1

Покажем|A| 6=единственность0 = ( !x)Ax. =Пустьb, кромесуществутого,етx такой= A

÷òî

Ax = b. Умножаем этî равенство слева на обратную матрицу.

A−1(Ax) = A−1b.

Èç

−1

A)x = Ix = x. Таким образом,

x = A

−1

b. Единствен-

ностьСуществованиедоказана. A. Òàê(Axêàê) = (A

(7.11)

2012

−1. Подставляя в

невырождена, то

−1

bдоказано,получаем.

−1

−

|A| 6= 0 = A

Существованиеx = A

b = A(A21 b) = (AA12.06.

)b = Ib = b,

то есть (7.11) истинно.

−1		1 ˜
x = A	b =		Ab

=Åñëè|A|.

òîãî,x1 =

A11

An1

Êàê x :=

x.1

· · ·

b.1

получается

считается определитель?

исхчтоднойполучилосьматрице.заменяется первый столбец на столбец

1 =

1(A, b).

И так далее: x2

A12

· · ·

An2

b.1

2 =

2(A, b).

, i =

1, n

− ормулы Крамера.

Теорема§7.12.7.Общий20.Для случайлюбой квадратнойтеоремы Лмàтрицыпласа

верно

A(n ×n) äëÿ âñåõ L N := {1, ..., n}

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть|A| =

MLJALJ .

(7.12)

(J )=µ(L)=:r

J N µX

(7.15):

σLJ − набор слагаемых из MLJALJ. Тогда, по теореме

[

σLJ σ = σ σ .

äèí ýëåìTíòJ 6=ç K, например, j-é

аждаяk-й, в каждом из слагàемых миноров до жен быть

ëè÷ û,σLJñëèσLK = =соответственно,J 6= K èáî ìèí ðàõ MLJ è MLK к к минимум два столбца раз-

оличество-го и,дополненияэлементовк в

этимизведенияхжэлеìентамииноров

-ãîпарастолбцаслагаемых.Значит,будетивпро

алгебраические.

îнатл 3)хчнасчитаем

		J[
В каждом	σU =	σLJ.	(7.13)

σLJ одно и то же количество членов, поэтому

µ(σU ) = µ( σLJ) =	µ(σLJ) =
J N	J

Количествосилуразличныхпункттельно, = 2членовверно Cсовпадаетr!(n r)!ñ

r −

	J N µ(J )=r
Ç ì	1. Когда	σU = σ
		множество.
частный	лучай теоремы Лапласа. 22 L

=êîличествоì· rчленов!(n − r)!определителя= n! . Следова-

r!(n − r)!

сужается12.06.2012 до одного элемента, получается

Определение§

7.17. Матрица

âèäà B.21

B.22

· · ·

называется ступенча-

B11

·. ·. .·

òîé, ñëè

Bm2

· · ·

Bm1

Bmn

J = L). Следовательно, в сумме (7.12) только для J = L

Bij

(ri

равенrj ), rk

≥

лейТеоремадиагональных7.21не. Определчисла,матрèац:теВоспользуматрицыступенчатойразмерностиматрицы

произведениюопределитель. ите-

Ä ê

ò å

ü ñ

î.

|B|

емся теоремой. Лапласа и раз

æèì

= |B11|...|Bmn|

AТеоремаLL − тоже7.22ступенчатая. Если матрицыматрица, определитель, которой раскладываеазмерностия аналогично.

по первым

L := {1 ... r1}.

|B|

главный (

лястрокам

Èç

всех миноров

отличны отпроизведениенулятольк

M (B)

MLJALJ будет ненулевым:

|B| = MLJALJ = MLLALL = |B11||ALL|.

J =L

A и B − квадратные одной

(n × n), òî

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выпишем вспомогательную|AB| = |A||B|.

матрицу ступенчатого вида. (7.14)

S :=

a1, ..., an, b1, ..., bn − столбцы,

−I

B ,

A = (a1...an),

B = (b1...bn),

ãäå

Используя предыдущийединичнаяматрицарезультат, имеем

I := (e1...en) −

ПервыйS = столбецA B = умножим на=

...a

...

a11 ...

0...0

| |

| || |

−

n 1

−...

...

a1...an

an1

...ann

0...0

... e

...b

1...0

...b

−

b11 и прибавим

n + 1

...b

0...

ноль а месте

результат к

-му с олбцу. Получаем

столбцу

b11. Втор й столбец умножим на b21

и прибавим результат к (n + 1)-му

элемента (a11 b11 ... 0 0 b21 ... bn1)T.

П лучаем ноль на месте b21 . И так до обнуления

bn1. Определитель не изменится:

an1·...· ·ann

·0· ·

· · ·

0· ·

a11...a1n

a11b11

· · ·

2012

· · ·

23b1n

| | |

· · ·

−

· · ·

−

· · ·

aibi1 0

· · ·

a ...an

12.06.

· · ·

e1 ...

1...0

b21

b2n

−

· · ·

0... 1

bn1

bnn

−

· · ·

bn .

−

+ 1

T .

Получаем ноль на месте

a11b11

· · · 0

b21

· · ·

bn1

столбец

b21. И так далее до обнуления элемента bn1. Аналогично обнуляем

b2.

Продолжая,A B = получим1на местеi i2матрицы· · ·

Ab1

Ab2

· · ·

0 .

| | | |

0 b3

−

· · ·

a b

· · ·

−

матрицу.

нулевую

−

Ab1 ... Abn

−

n + 1

ïðè ç ìåíå

0 ... 0

|A||B| =

Приведем этот определительстрокступенчатому виду. Поменяем

домножимместами. Такстрокуак

определитель меняет знак на-юпротивоположный,()-ю строки

строчку на

n + 1 íà (−1). Затем переставляем 2 è n + 2 строчки, домножая n + 2

(−1), и так далее.

1 .. .

0 . .

рицы1)Эта.ВтеоремаегдаA B =

= I AB = AB .

.... .. .

| ||

0 ...

льматответатоврица.понаобратнойвопросы матрицеосуществовании обратной мат-

существуетпозволяетСвозаимнаядкзавершитьрезу

Ab1...Abn

}

Åñли матрица

˜ ˜

( A) ( A) AA = AA = |A|I.

A не ырождена, ò

всегда существует обратная матрица вида

сущестД3)

−1

A =

Еслийâóютв.,определительобратная. Отравенпротивногонулю,. .

|A|A

A A = AA

= I

Пустьтони правая, ни левая обратные матрицы не

теореме

|A| = 0 ( B) AB = I.

По доказанной

Аналогично2)|ABпроверяетс| = |A||B| = несуществование0, другой стороныле ой|ABобрат| = |Iой| =матрицы1. Пришли. к противоречию.

Ä4

= |A| 6= 0Пустьматрсуществует( Bца) I = AB = BA

еЕслий3)справедливотправаятвлечет( ь .

существуправаяет,обратнаято). она жек

леваяматрицаединственная.

åò, ÷òî

B. Из п.3) следу-

| 6

−1

−1.

Отсюда

Но тогдаA = 0

существованиематрицы A , àêîé, ÷òî

A = A/

A = I.

B = (A A)B = A (AB) = A I = A = B = A

−è

праваяединственностьравны правой обратной

. Аналогично для левой

обратной.

И левая

A−1.

12.06.2012

Определение§8.1. Аксиоматика8.1. Отображение K называется законом внешней композиции, если

			K : A P × G → G
ры закона, значение		или областью) опера				оров закона, лементы P операто-
Наиболее важные законы всюдуком еделенные,p и gт.относите. льно ýтого закона.
K(p, g)			опозицией
Пусть G группа, P некотоðое поле. Тогда групповаяA = P × G.операция для
щимзаннаяОпределениемеждуции,записываетсобычноакподр	îтакжернымбозназакономчениямипространствоакж внешнейумножкакэлементовисложениеиекомпозиции,(ВП)в. поленазывается,отсутствиемполе;удовлетворяющимзаконабелевакакихвнешнейгруппа,либокомпозиследуюобычнознаковсвя--
ñиомамнекоторымядобозначаетсяаддитивностоящими.8.2. Вектполем,							.	G
P именуется множеством( + ),
Аксиомы закона				внешнейполе	композиции для ВП
1. Дистрибутивность для сложения
2. Дистрибутивность для(α+βсложения) x=αx+βxв группеα,β P è x G
3	α (x + y) =αx+αy α P è x, y G
4. (αβ) x = α (βx) α, β P è				x G.
íоеполе,пространствонейатеральныйло, то. Аксиомапоявляюэлементсяи понятиялевое. Для.левоеправоговекторноепринимаетсяпространствоаксиома
правое1 3')Åñëè· x =векторx, 1 P −				x		G
пнолнении.1Название:(αβ) x = β (αx)	α, β	P, x G

Åñëè. ормустьPаксиомыкольцо,P модуль4)тос. единицей,этиGаксиомы.то левый1),Примеры2),3)правыйдают:левыймодулииправыйбудут модульунитарнымисоответственпривы-

ÏространствоG столбцыоператоровg размерностиP матрицыn с обычной( операцивнешнейсложения.

лой nЧn). Закон композиции задается цоЭтоакскакужединицейнельзяK (p,. Тнgак)звать:=аяpgалгебраическ.ВП,такакаямножесструктураво матрицназываетсяP образуетмодулемвсего.Онлишьлевый,коль-

(AB) g = A (Bg) A, B P,25 g G.

	В общемPассоциативноеслучаеумноаких треугольных матриц нет обратнойn ×.nÑëåäP вательно,
	ðà óåò	ольцо с еди ицей. Если	P îá
3.	Пустьпоçèöèè åñòü	ж ие матрицы а столбец, тоGимеемстолбцылевыйи закмодуî	внешней.	êîì-
	Закр озьмемэтомвныйонвнешнейPслучаеправому,любуюдиагональныеимеемкомпозициинадабелевукольцомлевыйгруппувводитсмодуль,целых.Любая(nчиселравный×рекуррентно:n).абелева(тG.
4.		правому. произведениест группалбцы. . образуетчисел коммутативно)левый модуль,.

5.	Пусть	−kg = (1 − k)g − g, kg = (k − 1)g + g,	k = 2, 3, ...
	G множество непрерывных вещественных ункций, заданных на отр зк
	[a, b] : G = C[a,b]		вещественныхíå ì íå
	континуума элемвещественных. По сложениюов.Упражнениеони образуют:доказатьабелевуэто), группу (в этой группе
	чисел (	P множество
	ñò.ê.	R1) . Закон внешней композиции, заданный так:	K (p, f ) := pf äàåò ÂÏ,
6.	называетсяВозьмеманавливаемP полерешеткунимнаойперпендикуляры;.плоскости:чиселоткладываем.ихпересечениецелыечисламножествонаосяхточек,Охи Оу;котороевос-


	(Множество всех точ	плоск	можно трактовать как ВП.)		ñëî
æå	Возьмем на нашей решетк	элемент и другой элемент, сложим их (по
	решетки (подумать почему?двумерной). Т. . решетка группоид. Существованиеправилуней				åé-
	ния векторов элементов	плоскости и)		олучим некоторую точку из этой

тральногокчествев элементмножестваи обратного - оч видно. Поэтому решетка абелева группа G. Если модуВПза.дуля, исключениембо ее узкое понятие,Pопределенныхвзятьмножчеммодульество26случаев,целых.Далееособо12.06чисел.2012многооговариваемыхZ, теоремтовитогебудет.получимдоказаноунитдляарныймо-

RG G

элемент единственный и один и тот же0äëÿa. Новсехбылоэ ементовдоказано,группычто в.группеТ. . нейтральный

Теорема 8.2. Пусть

0 · a =

G абелева

R кольцо и пусть

G (ноль группы) è

Д .кТаогдаз т е

0 R

правыйло.

α0 = 0

= α0 = 0

α80.3(и. Пусть

элемент

нулевой элемент для

α0 + α0 = α 0 + 0 = α0 = α0

и левый, так как G

абелева группа)

a G (G абелева группа) è

α R (R кольцо.). Тогда

обратнымДк з а т еПустьл элементомв .

(−α) a = − (αa) .

(−α) a + αa = (−α + α) a = 0a =

Ò.îå:. (−α) a является

Теорема 8.4αa.

. А обозначение обратного элемента так

−(αa).

квнешнейа з а т л векторноa . G, α R. Тогда: α (−a) = −(αa).

8.5. В мпозицииα (−пространствеa) + αa = α (−a + a) = α

закона

êî

. Ò.å.

над полем P нет делителей нуля для

ãäå

αa = 0 = α = 0 a = 0,

Дαо кP,а з аимеютaслеваVь.последнееобратные,в . Пусть

α, обозначаемый через α−1

будет

равенство. В

кроме нуля

существуетαa = 0 обратныйиα = 0. кТогда, поскольку все элементы поля

жимтеоремынанего8.2

силу аксиомы III закона внешней композиции. Умно-

Ò. .

−1

(αa) = (α

−1

α)a = a = α

−1¯ ¯

0 = 0.

¯.

α = 0

§Пусть8.2. Линейные комбинации

странства

над теломсемейство элем нтов

-модуля

(или более узко: в кторного про

Åñëè

G(ai)i I

проблемвозник;болеспоå широко:иманиемкоммутого,дностича ивнаятакоегруппа с опëåраторами).

бескI онечно, то P

Pi I ai

котораяжествоОпределимIнужнаонечное,этудлясуммуопределениятодномаютсхчастномдимости)

некоторыеслучае:.ру

(в нашем моду нетнет.Еслиметрики,мн

( J I) µ (J) < ∞ i / J ai = 0 ,

тогда

i I ai

:= i J ai

Пусть имеется некоторое семейство операторов

(λi), i I R

же эта сумма

(R кольцо) . Когда

J := {i27| λi 6= 0 ai 6=2012} I.

имеет смысл? ассмотрим

x =

λiai

(8.1)

подмножество:

i I

12.06.

(8.2)

со свойством (8.2), (8.3) называется семейством

то сумма x имеет смыслоператоровиакая суммаµ Jназывается) < ∞,

линейной комбинацией семейства

(a )

к э ициентами

((8.3)λi)

.определение линей

комбинации.

КаждоеФормулысемейство(8.1),линейной(8.2)

i I

êîý èöèå òîâ

комбинации(λi)

x (относите ьноназываетсясемейс

i I

(aсвободнымi)).

Определение 8.3.

Семейство

элементов

ìîäóëÿ

независимым

( линейно

), åñ

λiai = 0 µ({i|λi 6= 0}) < ∞ = λi = 0 i.

i 1

(ОпределениеЕсли µ({i|λi 6=80.4}.) =Семейство∞, то эталементовсуммаможетмодулябытьназываетсянеопределенанесвободным).

зависимым

(линейно

), ñëè

Для того, чтобы семейство

λiai = 0.

(1.(λi)i I ) 0 < µ({i|λi

6= 0}) < ∞

i 1

доста

(ai)i I

Утверждениеочно, чтобы каждое2. Еслиеговсемействеконечное подсемейство былобылосвободнымсвободным. необх димо и

несвободноми,Не{2,xсуществует}суммамножество.которыхакойизтождлинВПåственнйнойункций (ai)i I

ñòâî1.

îмбинацииПримеры:равняласьнадполемхотябыункцийвещественныхбы0.динненулевымиэлементчиселнулевой,.коэ тоициентасемей--

10)3+(

+2)=0

32.. говоркУтвер({3,5-ассмотриммбинациx,2яxждениенев+2}-6)5рнйxìíî+15(2множествостальных.3жество. Никакойx элементовункцийизВПсис еманадункц,эткторовсвоболинейтольцом.го. системанадсемействаíîгоцелыхзависимаполемсемействалинейночисел,вещественных(очевидно)невозмо.ненезависимат.может.к.оммутОбратное,чиселбытьативный.рассматри.линейнойвообщеуни-

λ1

2 λ2x = 0

λ1

= λ2

= 0

ò ðíûé

дуль. Система из трех в

{3,

5x, 2x+2}

линейно зави има, но

âается кольцо це ых чисел.

æíî, .ê.

ыразить

дин элемент этого множåства через другие

Теорема 8.6.справедливоЕс непустое сем йство векторов несвободно и состоит из

À äëÿ ÂÏ

а этого семейства могут быть представленыненулевых

екторов, т , как минимумследующеедва в

âèäå

линейной

комбинации прочих векторов.

12.06.2012

( j I) λj 6= 0

λi 6= 0

λiai = 0

λj aj = −

λiai

i I

I\{j}

ãäå

aj = −(λj )−1

λiai =

βiai ,

I\{j}

i I\{j}

−1

Èòàê,βi = −îäèí(λj ) векторλi , i семействаI \ {j}. выражен через другие. Согласно теореме 8.1 среди

должен быть отличный от 0. Пусть с индексом

βk ak = aj −

{βi}

Умножим это равенс во слева на

−1

k . Тогда

i I\{j,k} βiai.

получаем линейное представление для

βk

Определение 8.5. Пусть есть некоторый

семейство

(илиВП) G ипусть есть некоторое

(ai)i I ,

принадлежащее этому модулþ (

), è

Тогда это семейство называется( x G )

(λi)i I

λiai. äëÿ

x =

порождающим семейс

âîì

модуля

i I

емействомЕслисистэлмодуляпорождающееойентовсированы,. семействомдойприродысемейство. В сравнен.Например,являетсяс семействомсвободным,систематоилионоВПназываболее.-

общееетсяОпределениеазницабазисомпонятие:междуВП8набор.6или.

. Фигуран ами двух предыдущих

(

) G

(e )3

могут быть

Если эти элемен ы проиндек

. ., например,

{a,определенийb, c}, ã a, b, c

e1 = a, e2 = b, e3 = c, то систему

изъятьнеi семейства,iКонтрпримерУтвер=1 ниназываю

ждениедногодиагональныесиñэлементтемы.4Пус. Для. модуляссохраíåниемвсяк свойстваепорождающеепорождаемоссемейство,и,являетсяизкорогобазисомнельзя.

мноассмотримжествостолбцовследующуювысосистемуы. Пу(семейство):сть множество

операторов

матрицыG = R

{

}

НетрудноПусть показать, что это семейство будет порождающим.

e1, e2

, . . . , en

. . .

x.1

произвольный столбец. Положим λ1 := Ix1 , . . . , λn := Ixn .

Здесь

−

единичнаяТогда матрица.

29 +

λ1e1 + + λnen

· · ·

x.1

· · ·

x.1

Значит, данное

семейство является порождающим.

12.06.2012

		0. . ..		0.	0.
Íî	λi =	0. . ..		0	0	6= 0 ,	i = 1, n − 1 , λn = 0.
	λi =		0 . . .	0	0	6= 0 ,	i = 1, n − 1 , λn = 0.

			0 . . .	0	1		åмействсемейство.
			0 . . .	0	1

Упражнениеверждение. Доказать,5. В. векторномчтоэтомпромодулетранственет свободныхпорождающсвойства
λ1e1 + · · · + λnen = 0
являерогоД		с сохранследует,ниемчто					семействепорождаемости,извсегда,кото-
семействонельзявыражк баз тсомзъятьл . ссвоботни.дногоИз элементармулировки											S
åñëè									S нет нулей. Т
чтобытьпротиворечитчернезормудругиесуществует											систе
S	лировкдно,.Н это.силуСледовазначит,теорельно,мычто8другие.6одинимеютизэлементовсвойствопорождающаясемействаждаеS ìîæåòè,
маТеоремаемейсвекД оòкваоров,8з..а7т.тоеЕслилласноьу Vтвввекторномо. Пусть пространствеконечныйбазис,VSестькоторыйсвободноконечнаяможно.										выбрать из этого-
ñвободна, то, сог	8.6, существует				µ(I < ∞			. Если система			(ai)i I íå
ñвободна, то, сог	теореме	(ai)i I → V			µ(I < ∞						(ai)i I íå
тогда				j I, такое что aj						= Pi I\{j} λiai. À
(первоеЕслиравенствосеействоздесьэлементовопределение порож ающей									.		(8.4)
( x V )( (α)i I )x =			αiai	=			(αi − λiαj )ai
		i I			I\{j}
		X			i X
						системы)
т оремы 88семейства..6,7.иПусть.д. Так.имеетсякак I конечно,некоторый
Определениепорождающегонение	(ai)i I\{j} ñâ áîäное,вбазисконцетоэтоконцов,базис,доберемсяиначеповтдîримсвободногоприме-
						(ai)i I векторного пространства
(модуля) V íàä ïîëå	(кольцо ) P, тогда по определению порождающей системы верно:
Элемент	( x V )( (xi)i I		P )x =			i I	xiai.				(8.5)
					X

натой вектораxi элемент поля (кольца) P называется i-й компонентой или i-й коордиТеорема 8.8. Вxпредставлении(э мента x модуля M ).

другоеазоД.	ê à ç à ò å ë ü			î.	(12.26)	компоненты		xi
другоеазоД.					Пусть есть два линейных представления:определяютсяодноединственнымиз них (12.26)оби-
					x =		X
Вычтем из					x =		yiai
			представления (12.26) представление (12.27):						(8.6)
							i I		Pi I (xi − yi)ai
		система.						0 =	Pi I (xi − yi)ai
свободная				В силу определения свободной системы, последнее равенство.означаетБазис
xi − yi = 0 i I.					30		12.06.2012

<<< < Предыдущая 1 23 / 103 4 5 6 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Алгебра (общая)

#
28.05.20221.11 Mб6Konspekt_po_algebre.pdf
#
28.05.202239.42 Кб4Билеты по высшей алгебре.doc