Учебное пособие 800583
.pdfИмеем |
f x |
4x3, |
f y |
4y3, fxx |
12x2, |
f xy |
0, |
|
f yy |
12y2 . |
||||||
Решая систему |
уравнений |
4x3 |
0 , 4y3 |
0, |
находим, |
что |
||||||||||
M 0 (0,0) |
|
точка |
возможного |
экстремума. |
В |
этой |
точке |
|||||||||
f xx (0,0) |
0, |
f yy (0,0) |
0 |
и, |
следовательно, |
0 . |
Согласно |
|||||||||
замечанию, в точке M 0 (0,0) экстремум может быть и может не |
||||||||||||||||
быть. В данном случае экстремум есть, так как |
z |
|
0 |
во всех |
||||||||||||
точках, кроме M 0 |
и z |
0 |
в точке M 0 , т.е. данная функция в |
|||||||||||||
точке M 0 |
имеет минимум. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. Исследовать на экстремум функцию z |
x3 |
y3 . |
|
|
||||||||||||
Имеем, |
f x |
3x2 , |
f y |
3y2 , |
f xx |
6x, |
f xy |
0, |
f yy |
6 y. |
||||||
Решая систему |
уравнений |
|
3x2 |
0, |
3y2 |
0, |
находим, |
что |
||||||||
M 0 (0,0) |
|
точка |
возможного |
экстремума. |
В |
этой |
точке |
|||||||||
f xx (0,0) |
0, |
f yy (0,0) |
0 |
и, |
следовательно, |
0 . |
В данном |
|||||||||
случае в точке |
M 0 |
экстремума нет. В самом деле, |
z(0,0) |
0 , |
||||||||||||
z(x,0) х3 , откуда |
z |
0 при |
x |
0 |
и |
z |
0 при |
x 0 , т.е. в |
||||||||
любой окрестности точки M 0 |
данная функция имеет значения |
|||||||||||||||
как большие, так и меньшие z(0,0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Условный экстремум функции нескольких переменных.
Во многих задачах приходится отыскивать максимум и минимум функции нескольких переменных, которые не являются независимыми, а связаны друг с другом некоторыми добавочными условиями (например, они должны удовлетворять данным уравнениям).
Пример. Из куска жести площадью 2a нужно сделать закрытую коробку в форме параллелепипеда, имеющую наибольший объем.
220
Решение. Обозначим длину, ширину и высоту коробки
через x, y, z. |
Задача |
сводится |
к отысканию |
максимума |
функции v |
xyz при |
условии |
2xy 2xz 2yz |
2a . Мы |
получили задачу на условный экстремум: переменные x, y, z связаны условием xy xz yz a . Временно оставим эту
задачу и рассмотрим общую схему решения таких задач на примере функции двух переменных, если эти переменные связаны одним условием.
Пусть требуется найти максимум и минимум функции u f (x, y) при условии, что x и y связаны уравнением
(x, y) 0. При наличии последнего условия из двух
переменных x |
и |
y независимой будет только одна, например |
|||||
x , так как |
y |
определяется из равенства |
(x, y) |
0 |
как |
||
функция |
x . |
Подставляя найденное |
выражение для |
y |
в |
||
равенство |
u |
f (x, y) , мы получили |
бы |
функцию |
одной |
||
переменной x |
и свели бы задачу к задаче об исследовании на |
максимум и минимум функции одной независимой переменной x .
Но можно решить поставленную задачу, не разрешая уравнение (x, y) 0 относительно x или y (это не всегда
возможно). При тех значениях x , при которых функция u f (x, y) может иметь максимум или минимум, производная
du |
должна обращаться в нуль. Дифференцируя функцию |
|
dx |
||
|
||
u f (x, y) как сложную функцию, у которой одна из |
промежуточных переменных совпадает с независимой, получим
|
du |
|
f |
|
|
|
|
f |
|
dy |
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dx |
|
x |
|
|
|
|
y dx |
|
||||||
Следовательно, в точках экстремума имеем |
|
||||||||||||||
|
|
f |
|
f |
|
|
dy |
0 . |
(4.50) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
y dx |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
221
Дифференцируя соотношение (x, y) 0, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
0 . |
|
|
(4.51) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
y dx |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Умножим члены равенства (4.51) на неопределенный пока |
|||||||||||||||||||||||||
коэффициент |
|
и сложим их с соответствующими членами |
|||||||||||||||||||||||
(4.50): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
dy |
0 . |
(4.52) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
x |
|
|
y |
y |
dx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Равенство (4.52) выполняется во всех точках экстремума. |
|||||||||||||||||||||||||
Подберем коэффициент |
|
так, чтобы для значений x и |
y , |
||||||||||||||||||||||
соответствующих экстремуму функции |
u , |
вторая скобка в |
|||||||||||||||||||||||
(4.52) обратилась в нуль: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Но тогда при этих значениях |
x и |
y |
из равенства (4.52) |
||||||||||||||||||||||
следует равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
То есть, получается, что в точках экстремума |
|||||||||||||||||||||||||
удовлетворяются три уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
(4.53) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(x, y) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
относительно |
трех |
неизвестных x, y, . |
Из |
этих |
уравнений |
||||||||||||||||||||
определяем координаты точек экстремума |
x, |
y и величину |
, |
которая играла вспомогательную роль и в дальнейшем не потребуется.
Из вывода следует, что уравнения (4.53) являются необходимыми условиями условного экстремума. Не при всех
222
значениях x, y, , удовлетворяющих уравнениям (4.53), будет
иметь место условный экстремум. В каждой конкретной задаче требуется дополнительное исследование характера критической точки.
Отметим, что левые части уравнений (4.53) являются частными производными функции
|
|
|
|
|
(4.54) |
f (x, y, ) |
f (x, y) |
(x, y) |
|||
по переменным x, y и |
. То есть, для того, |
чтобы найти |
|||
значения x и y , удовлетворяющие условию |
(x, y) 0, при |
||||
которых функция u |
f (x, y) |
может иметь условный |
экстремум, нужно составить вспомогательную функцию (4.54),
приравнять |
нулю |
ее |
производные |
по |
|
x, y |
и |
|
и |
|
из |
||||||
полученных трех уравнений (4.53) определить искомые |
|
x, |
y и |
||||||||||||||
вспомогательный множитель . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Продолжение |
решения |
примера. |
Составим |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
вспомогательную функцию f (x, y, z, |
) xyz |
(xy xz |
yz |
a) . |
|||||||||||||
Найдем ее частные производные и приравняем их нулю |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
yz |
( y |
z) |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
xz |
(x |
z) |
0 . |
|
|
|
|
(4.55) |
|||||||
|
|
xy |
(x y) 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Задача сводится к решению системы уравнений (4.55) и |
|||||||||||||||||
(4.56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy xz yz a 0 (x |
0, y |
|
0, z |
0) . |
(4.56) |
|||||||||||
Умножим первое уравнение (4.55) на |
x , второе – на |
|
y , |
||||||||||||||
третье – на z |
и сложим их |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3xyz |
(xy |
xz |
|
|
|
xy |
yz |
zx |
zy) |
0. |
|
|
|
|
||
С учетом (4.56) получим 3xyz |
2a |
|
0 или |
|
3xyz |
. |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
||
Подставим |
в (4.55): |
yz 1 |
|
|
|
3x |
|
( y |
z) |
0 ; |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
223
xz 1 |
|
3y |
(x z) |
0 ; |
xy 1 |
|
3z |
(x y) |
0 . |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
||
Так как x, y, z отличны от нуля (по смыслу задачи), то |
|||||||||||||||
|
3x |
|
( y z) 1 ; |
|
3y |
(x z) 1; |
3z |
(x y) 1. |
|||||||
|
2a |
|
2a |
2a |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из первых двух уравнений: |
x y , из второго и третьего |
||||||||||||||
уравнений: |
|
|
y |
|
z . Из |
уравнения (4.56) получим: 3x2 a , |
|||||||||
x y z |
|
|
a 3 . При этих значениях переменных может быть |
максимум или минимум. Можно доказать, что получаемое решение дает максимум. То есть, для того, чтобы объем коробки был наибольшим, эта коробка должна быть кубом,
ребро которого a3 .
6. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. Пусть функция z f (x, y) непрерывна в
ограниченной замкнутой области D и дифференцируема внутри этой области. В этом случае она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо внутри области, либо на ее границе. Если наибольшее или наименьшее значение функция принимает во внутренних точках области D , то эти точки, очевидно, являются точками экстремума функции z f (x, y) . Однако своего наибольшего и
наименьшего значения функция z f (x, y) может достигать и на границе области. Поэтому, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z f (x, y) в
ограниченной области D , нужно найти все внутренние точки, ”подозрительные” на экстремум, вычислить значения функции в них и сравнить со значениями функции в граничных точках области. Наибольшее и наименьшее из этих значений и будет наибольшим и наименьшим значением функции во всей области.
З а м е ч а н и е. Обычно граница области D может быть разбита на ряд участков, каждый из которых определяется
224
уравнением вида y |
(x), |
a x |
b или x |
( y), c |
y d . |
||
Вдоль каждого такого участка границы функция |
z f (x, y) |
||||||
превращается |
в функцию |
одной |
переменной |
x |
или |
y : |
|
z f x, (x) |
или z |
f |
( y), y . |
Тогда задача |
нахождения |
наибольшего и наименьшего значений функции z f (x, y) на
границе сводится к задаче отыскания наибольшего и наименьшего значений функции одной переменной на отрезках
вида a x |
b или c |
y |
d . |
|
|
Пример 1. |
Найти наибольшее и наименьшее значения |
||||
функции |
z x2 y(2 |
x |
y) |
в области D , ограниченной |
|
прямыми x |
0 , y |
0 , |
x |
y |
6 (рис. 62). |
Решение. Найдем точки возможного экстремума
y
6 A
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
6 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 62 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
zx |
2xy(2 x y) x2 y xy(4 3x 2 y) , |
|
|
|
||||||
|
|
z y |
x2 (2 x y) x2 y x2 (2 x 2 y) . |
|
|
|
||||||
Так как внутри треугольника x |
0 , |
y |
0 , |
то приравнивая zx |
||||||||
и z |
|
нулю, получим: |
4 |
3x |
2 y |
0 . |
Отсюда: x |
1, y |
1 |
. |
||
y |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
2 |
x 2 y 0 |
|
1 |
1 |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
225
То |
есть |
т. |
P |
1, |
1 |
|
|
и |
в |
ней |
z |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
1 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Рассмотрим границу |
OAB : 1) На OA x |
0 и z |
0 . 2) На OB |
|||||||||||||||||||||
y 0 |
и |
|
|
z 0 . |
|
3) |
|
На |
|
AB |
|
|
y 6 x , |
|||||||||||
z |
x2 (6 |
x)(2 |
x |
6 |
x) |
|
4x2 (6 |
x) . Найдем наибольшее и |
||||||||||||||||
наименьшее |
|
значение |
|
этой |
функции |
на |
|
|
0,6 : |
|||||||||||||||
z x |
8x(6 |
x) |
4x2 |
12x2 |
48x |
0 . Тогда 12x(x |
|
4) |
0 |
|
и |
|||||||||||||
x2 |
0, x3 |
4 . Вычислим значение z в этих точках: |
z2 (0) |
0 , |
||||||||||||||||||||
z3 (4) |
128. На |
|
конце |
x4 |
6 |
отрезка |
0,6 |
z4 (6) |
0 . |
Из |
||||||||||||||
значений |
в |
точках |
P, |
x2 , x3 , x4 |
выбираем |
наибольшее |
|
и |
||||||||||||||||
наименьшее: |
M |
|
|
1 |
, |
m |
128. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример 2. |
|
Найти наибольшее и наименьшее значения |
|||||||||||||||||||||
функции z |
x2 |
|
y2 в области D : x2 |
y2 |
4 (рис. 63). |
|
|
|
|
-2 |
0 |
2 |
Рис. 63
Решение. Найдем точки возможного экстремума
|
|
z |
x |
2x |
0 , z |
y |
2 y |
0 . |
P (0,0) |
; |
z |
P1 |
0 . На границе: |
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
y2 |
4 x2 |
z x2 |
4 x2 |
2x2 4 , |
z x |
|
4x 0 , x2 |
0 и |
|||||||
z2 |
x |
0 |
|
4 . На концах отрезка: |
x3 |
2 , |
x4 |
2 z3 |
x 2 |
4 , |
226
z4 |
x |
2 |
|
4 . То есть, |
наибольшее |
значение |
в |
области |
D |
|||||||||||||||||||
функция принимает в точках P3 ( |
2,0) , |
|
P4 (2,0) , наименьшее – |
|||||||||||||||||||||||||
в точках P (0,2) , |
P (0, 2) (если x |
|
0 , то y2 |
4 , y |
2 ). |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи к п. 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
1. Вычислить повторные пределы |
lim |
lim |
f (x, y) |
и |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x0 |
y |
y0 |
|
|
|
|
|
||||
lim |
lim f (x, y) |
, если: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
y y0 |
x |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1) |
|
|
f (x, y) |
x 2 |
|
xy |
|
y 2 |
|
, x0 |
|
0 , y0 |
0 ; |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
xy |
|
y 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
2) |
|
|
f (x, y) |
x2 |
|
y 2 |
, x0 |
|
|
, y0 |
|
|
; |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
y 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3) |
|
|
f (x, y) |
cos x |
cos y |
, |
|
x0 |
|
0 , |
y0 |
0 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2. |
Доказать |
что |
функция |
|
|
f (x, y) |
|
|
x 2 |
|
|
|
является |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
x |
|
|
y |
) |
|
|
|
|
бесконечно малой в точке |
O(0,0) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
3. |
Доказать |
что |
в |
точке |
|
|
|
O(0,0) |
предел |
функции |
||||||||||||||||
f (x, y) |
|
x 2 |
xy |
y 2 |
|
не существует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 2 |
xy |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
4. Найти точки разрыва следующих функций |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
1) |
z |
ln(1 |
x2 |
y2 ) ; |
2) |
z |
|
|
|
sin |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3) u tg(x2 |
y2 |
z 2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
227
5. Исследовать на непрерывность функцию в точке O(0,0)
:
|
x 2 y |
при x 4 |
y 2 |
0, |
||
z |
x 4 |
y 2 |
||||
|
|
|
0 при x 4 y 2 0.
Рассмотреть ее поведение на осях координат, на прямых
ykx и на параболах y px2 .
6.Исследовать на непрерывность функции по отдельным переменным и по совокупности переменных
|
|
|
|
|
x |
2 y 2 |
|
при |
x 4 |
|
y 4 |
0, |
|
|
|
|
|
|
x 4 |
y 4 |
|
|
|||||
1) |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
в точках O(0,0) и |
|||
|
|
0 |
|
|
|
при |
x 4 |
|
y 4 |
0 |
|||
M 0 (1,2) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
y 2 |
|
|
при |
x |
y |
0, |
|
||
2) |
z |
|
|
|
x |
y |
|
в точках O(0,0) и |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
при |
x |
y |
0 |
|
|||
M 0 (1, 1) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
|
при |
x 2 |
y 2 |
0, |
||
|
|
|
|
|
x 2 |
y 2 |
|
||||||
3) |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
в точках O(0,0) |
|||
|
|
0 |
|
|
|
при |
x 2 |
|
y 2 |
0 |
иM 0 (0,1) .
7.Показать, что следующие функции непрерывны
1) z sin(x2 y) , |
2) z x2 ln(x2 y2 ) . |
228
8. Найти частные производные следующих функций в точке (x, y) или (x, y, z) .
1) |
u x2 |
|
y2 3x2 y3 ; |
|||||||
3) |
u |
sin(xy |
|
yz) ; |
|
|||||
5) |
u |
arcsin |
|
|
x |
; |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
x 2 |
y 2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7) |
u |
ln |
1 |
x2 |
y 2 ; |
|
9. Имеет ли функция точке O(0,0) , если
1) f (x, y) x2 y 2 ;
2) |
u |
xyz |
x |
; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
yz |
|||
4) |
u tg(x y) ex y ; |
|||||
6) |
u |
xyln(xy) ; |
||||
8) |
u |
tg(arctgx arctgy) . |
||||
f (x, y) |
частные производные в |
|||||
|
|
|
|
|
||
2) |
f (x, y) |
3 xy ; |
3) |
f (x, y) |
e 1 (x 2 |
y 2 ), |
x2 y 2 |
0, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 |
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0, |
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
x 4 |
y 4 |
, x 2 |
|
y 2 |
0, |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4) f (x, y) |
|
x 2 |
y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
0, |
|
|
x 2 |
|
y 2 |
0. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Найти частные производные от функций: |
|
|
|
|
|||||||||||
10. z |
x2 y3 |
|
x3 y. |
11. |
z |
|
x |
y |
. |
12. |
z |
|
xy |
. |
|||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
x |
y |
|
4. |
z |
x2 sin y. |
5. z |
exy . |
|
6. |
z |
xyex |
2 y . |
7. z |
e y / x . |
229