Учебное пособие 800583

значений f (x) для x из Χ, т.е. когда f (X )

Y ,

говорят, что

f есть функция, отображающая Χ на Υ.

Итак, в общем случае нельзя полагать,

что

f задается

обязательно являются множествами

R n ,

R m , или

подмножествами этих множеств.

Рассмотрим несколько хорошо знакомых читателю

примеров геометрически определенных функций.

Параллельный перенос плоскости

есть

функция

f : R2

R2 (где R2 множество упорядоченных пар ( x, y ), т.е.

Например, если известно,

что f

переводит точку

M1

в

точку

M 2 , то это отображение будет переводить точку

M1

в

такую

точку M 2 , что точки

M1 ,

M 2 , M1 ,

M 2

будут

составлять параллелограмм.

Вращение плоскости есть функция f : R2

R2 , которая

Отражение относительно прямой L в

R2 - функция

f : R2 R2 . Она оставляет неподвижной

каждую точку

Подобие плоскости есть функция

f : R2

R2 ,

Например, выберем точку M 0 из R2 , положим

f (M 0 ) M 0 ,

а для каждой другой точки М в качестве f (M )

возьмем конец

взаимно однозначные отображения.

Функция F : X

Y

называется

взаимно

однозначной

(сокращенно 1 – 1 функцией), если каждая точка

y множества

Υ является образом

при f

одной и

только одной точки x

точке y

Y единственную точку x

X ,

для которой f (x)

y ,

называется обратной

функцией

для

f

и обозначается

f 1 : Y

X .

Например, каждое движение плоскости взаимно

однозначно. Если f

– параллельный

перенос,

задаваемый

прямолинейным отрезком, идущим из

M 0

в М,

то f

1 –

однозначно.

Отображение,

обратное

растяжению

с

коэффициентом

r

1 , есть сжатие с коэффициентом

1

и с

r

тем же центром.

Если f – отображение множества Χ

на множество Υ, а

g – отображение множества Υ

в множество Z , то для x

X

определен элемент

y f (x) Y

и можно рассмотреть элемент

z g( y) ,

принадлежащий

множеству Z . Таким образом,

каждому

элементу

x

X

ставится

в соответствие элемент

z

g[ f (x)] из

Z

и, следовательно,

определено отображение

множества Χ в множество Z, называемое композицией

отображений

f и g

или сложной функцией, и обозначаемое

g f (x) или g[ f (x)].

В общем

случае

композиция

не коммутативна: g f

отличается от

f g ,

если даже последняя имеет смысл; но

она ассоциативна – (h g) f

h (g f ) .

Если

f 1 есть биекция,

обратная биекции

f множества

Χ

на Υ,

то

f

1 f

I x

– тождественное

отображение

соответствие

точка

M m

евклидова

пространства

E n .

Возникающий

при

этом

ряд точек

M1 , M 2 ,..., M m ,…,

рассматриваемый в

указанном порядке, называется

последовательностью точек евклидова

пространства

E n и

обозначается символом {M m } .

Определение.

Последовательность

{M m }

точек

евклидова пространства

E n

называется

сходящейся, если

существует точка

M 0

пространства

E n такая, что для

любого положительного числа

можно указать отвечающий

ему номер N такой, что при m

N выполняется неравенство

(M m , M 0 )

. При этом точка M 0

называется пределом

символы:

lim M m

M 0 , или

M m

M 0

при m

.

m

Справедливо важное утверждение, сводящее сходимость

последовательности

точек

{M m }

к

покоординатной

сходимости.

Теорема 1. Последовательность точек {M m } n- мерного

евклидова пространства E n

сходится

к

точке

M 0 этого

xnm } сходятся соответственно

к числам x10 ,..., xn0 ,

представляющим координаты точки

M 0 .

Пример. Пусть последовательность точек { M n (xn , yn ) }

из R 2 такова, что

xn

1

, yn

3

, n

1,2... .

n

n

Тогда пределом последовательности точек M n

1

,

3

n

n

при n

, будет, очевидно, точка

O(0,0) :

lim M n

1

,

3

O(0,0) .

n

n

n

значением) функции u

f (M )

в точке А ( или при M A ),

если для любой сходящейся к

А последовательности { M m }

точек множества {M} задания этой функции, все элементы

которой M m отличны

от А, соответствующая числовая

Для обозначения предела функции u f (M )

в точке А

используются обозначения:

lim f (M ) b или

lim f (x1,...., xn )

b ,

M A

x1

....

a1

xn

an

Определение 2. (Предел

функции в точке А по Коши).

Число b называется

пределом (или предельным

значением) функции u f (M ) в точке А (или при M

A ),

если

для

любого

положительного

числа

найдется

отвечающее ему положительное

число

такое, что

для

любой точки М из множества {M} задания этой функции,

удовлетворяющей

условию

0

(M, A)

,

справедливо

b

неравенство

f (M )

.

З а м е ч а н и е. Согласно определению, предел функции

u f (M )

f (x, y)

не зависит от способа приближения точки

M (x, y)

к точке A(a,b)

(рис. 52).

y

(2)

-окрестность точки А.

b

А

(1)

(3)

M(x,y)

a

x

Рис. 52

Предел должен быть одним и тем же числом b при

приближении точки M (x, y)

к точке

A(a,b)

по любому пути.

Пример 1. Существует ли предел

lim

2xy

?

y 2

x

0 x2

y

0

Решение. Воспользуемся определением 1 предела

функции. Возьмем две последовательности точек { M n }

и {

M n },

сходящиеся

к

точке О(0,0).

Пусть

M n

1

,

1

,

n

n

M n

1

,

1

которые

при

n

приближаются

к

О(0,0).

n2

n

Получаем

две

соответствующие

этим

точкам

последовательности значений функций

2

2

f (xn , yn )

n2

1

,

f (xn , yn )

n3

2

0

(при

2

1

1

n

1

n2

n2

n4

n

n

).

Следовательно,

рассматриваемый предел не существует.

f (x, kx)

2kx2

2k

.

x2 k 2 x2

1 k 2

Пример 2. Существует ли предел

lim

x2 y

?

x

0 x2 y

2

y

0

Решение. Выполним оценку абсолютной величины

функции. Имеем:

x

2

y

x

2xy

1

x

.

x2

y 2

2

x2

y 2

2

Выполнение последнего неравенства легко увидеть из

рассуждений:

2xy

1 ,

2

xy

x 2

y 2 ,

(x y)2

0 .

x 2

y 2

1

x2 y

Поскольку lim

x

0 ,

то

lim

0 .

2

x2

y2

x 0

x

0

y

0

Пример 3. Существует ли предел lim

x 2 y

?

x 4

y 2

x

0

y

0

Решение. Данная функция определена во всех точках

плоскости, то есть пространства R 2 ,

кроме точки О(0,0).

Вычислим предел этой функции при (x, y)

(0,0) по любой

f (x, kx)

kx3

kx

0

при x

0.

x4 k 2 x2

x2

k 2

Однако эта функция не имеет предела в точке (0,0),

поскольку при y

x2 , получаем:

f (x, x2 )

x4

1

,

поэтому lim f (x, x2 )

1

.

x4

x4

2

2

x

0

y

x 2

эта функция, для любого

0 имеет хотя бы один элемент М,

лежащий вне шара радиуса

с центром в точке О(0,…,0).

Определение.

Число

b

называется

пределом функции

u f (M )

при

M

,

если для

любого положительного

числа

найдется отвечающее ему положительное число

такое, что для всех точек М из множества {M} задания

функции,

удовлетворяющих условию

(O, M )

, справедливо

неравенство

f (M ) b

.

Для обозначения предела функции u

f (M )

при M

используется символ:

lim

f (M )

b .

M

Как и в случае функции одной переменной,

арифметические

операции

над

функциями

нескольких

переменных, имеющими предел в данной точке M 0

(или при

M

) , приводят к функциям,

имеющим предел в точке M 0

(соответственно при

M

).

Теорема 2.

Пусть

две

функции f1(M ) и

f2 (M )

M 0 пределы

b1 и

b2 .

Тогда

функции

f1(M )

f2 (M ) ,

f1(M ) f2 (M ) ,

f1(M ) / f2 (M )

имеют в точке M 0

пределы,

равные соответственно

b1

b2 ,

b1 b2 , b1 / b2

(в

случае

частного нужно дополнительно требовать, чтобы b2

0 .

Доказательство

этих

утверждений

совершенно

Пример 4. Вычислить предел

lim

x

2 y

.

x

1

3x

y

y

2

Решение.

Согласно сформулированной

выше

теореме,

имеем:

lim x

x

2 y

x

2 y

x

1

lim

lim

lim

y

2

3x

y

3x

y

3x

y

3 lim x lim y

x

1

x

1

x

1

y

2

y

2

y

2

x

1

x

1

y

2

y

2

2 lim y

x

1

1

4

3

y

2

.

3 lim x

lim y

5

5

5

x

1

x

1

y

2

y

2

Пример 5. Вычислить предел

lim

x

y

.

x 2

y 2

x

xy

y