Учебное пособие 800583

т. е. существует определенный интеграл

f (x) dx при любом

a

R a . Тогда, если существует конечный предел

R

lim

f (x) dx,

(3.19)

R

a

R

f (x) dx

lim

f (x) dx.

a

R

a

f (x) dx

lim

f (x) dx.

(3.21)

R

R

Наконец, как сумму интегралов вида (3.20)

и

(3.21)

можно определить несобственный

интеграл

с

двумя

бесконечными пределами, т. е.

c

f (x) dx

f (x) dx

f (x) dx,

(3.22)

Установим геометрический

смысл

несобственного

интеграла первого рода. Пусть

f (x)

0.

Тогда определенный

R

интеграл

f (x)dx выражает площадь области, ограниченной

a

сверху графиком функции f (x) , снизу –

осью Ох, слева –

прямой x

a , справа – прямой

x

R . Естественно считать,

что несобственный интеграл

f (x)dx

выражает конечную

a

и (3.22).

Рассмотрим

несколько

примеров

вычисления

несобственных интегралов первого рода.

Пример 1.

dx

R

dx

0R

Rlim

Rlim

(arctg x)

Rlim arctg R

,

2

2

2

0 1 x

0 1 x

0

Пример 3.

e x dx

e x dx

e x dx;

интеграл

0

R

R

e x dx lim

e x dx

lim e x

lim (e R 1)

.

0

R

0

R

0

R

Пример 4.

dx

,

некоторое число.

R dx

x1

R

R1

1

1

при

1,

lim

lim

lim

1

R

x

R

1

1

R

1

при

1.

1

2) Если

1,

то для любого R > 0

lim

R dx

lim (ln x)

1R

lim

ln R

.

x

R

1

R

R

Таким образом,

данный интеграл сходится при

1 и

расходится

при

1. Заметим,

что в

рассмотренных

точки, но ограничена на любом отрезке a, b

, заключенном

в a, b (рис. 39). Пусть на любом отрезке a, b

функция

f x dx при любом

0 таком, что b

a. Тогда, если

b

lim

f (x)dx,

(3.23)

f (x)dx.

(3.24)

f (x)dx

lim

f (x)dx.

a

0

a

b

c

b

f (x)dx

f (x)dx

f (x)dx.

a

a

c

b

c

b

f (x)dx

f (x)dx

f (x)dx,

a

a

c

где c – любая точка из

(a,b) .

Пример 5.

1

dx

,

0

некоторое число.

0 x

1)

Если

1,

то

1

dx

x1

1

1

1

при

1,

lim

lim

lim

1

1

1

при 0

1.

0

x

0

0

1

lim

1 dx

lim (ln x)

1

lim ( ln )

.

x

0

0

0

0

1

Таким образом, данный интеграл сходится при

R h

PRh

A

F (x) dx

.

R

R

h

Выход тела в межпланетное пространство означает запуск

его на бесконечную высоту

h

. Вычислим необходимую

для этого работу:

lim A

F (x) dx

lim

PRh

lim

PR

PR mgR,

R

h

1 R / h

h

R

h

h

чтобы

mv

2

mgh или

2

v

2gR

2 10 6 400 000 м с 1,4 8 000 м с 11,2 км с.

37.

y

4 x2, y

0.

38.

y2

2 px, x

h.

39.

y

ln x, x

e, y

0.

40.

y

x2, y

2

x2.

41.

y

x2 , y = 1.

42.

y

cos2 x

sin2 x, y

0, x

0, x

/ 4.

43.

y

x

1,

y

0,

x

2,

x

1.

44.

y

sin x,

y

x2

x.

45.

y

arcsin2x,

x

0, y

/ 2.

46.

y

sin 2x, y

1,

x

/ 2,

где

/4

x

/ 2.

47.

x2

y2

1,

x

2.

48.

xy

4,

x

4,

y

4,

x

0,

y

0.

x2 ,

49.

y

y

x.

50.

y

x 2

1,

y

0, x

2,

x

2.

51.

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой

y

x2

2x

2, касательной к ней в точке (3, 5)

и осью Оу.

52.

Найти площадь фигуры, заключенной между параболой

y

x2

4x 3

и

касательными к

ней в точках (0, 3)

и

(3, 0).

Найти длину дуги кривой:

53.

y

x3 / 2 от x

0

до x

4.

54.

y

x2

1,

отсеченной осью Ох.

55.

y

a

e x / a

e

x / a

от x

0

до x

a.

2

56.

y

ln cos x

от

x

0

до x

/ 6.

57.

y

lnsin x

от

x

/ 3

до x

2

/ 3.

58.

y

x2

1

ln x

от

x

1 до

x

e .

4

2

59.

y 2

4

(2

x)3

от

x

1 до

x

2 .

9

60.

y

x2 от х = 0

до

x

2 .

61.

x

et sint,

y

et cost,

0

t

/ 2.

62.

Астроиды

x

acos3 t,

y

asin3 t .

63.

Кардиоиды

a 1

cos

,

a

0,

0

2 .

Найти объемы тел, образованных вращением фигуры,

ограниченной линиями:

64.

y2

2 px, x

h вокруг оси Ox.

65.

y

4

x2 , y = 0,

x = 0, где x

0 вокруг: 1) оси Ох;

2)

оси Оу .

x2 ,

вокруг оси Ох.

66.

y

y

x

67.

y

e x ,

x

0,

x

1,

y

0

вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

68.

y

x2

1,

y

0,

x 1, x

2 вокруг: 1) оси Ox; 2) оси Оу.

69.

y

x3, y

1, x

0 вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

70.

y

x

x2 , y

0

вокруг

каждой из следующих прямых:

1)

y = 0;

2) x = 0;

3) x = 2;

4) x=

2;

5) y = 1;

6) y = 2.

71.

y = lnx,

y = 0,

x = e

вокруг каждой из следующих

прямых:

y = 0;

2) x = 0;

3)

y =

1;

4) x = 1;

5) x =

1;

6) y = 1.

72.

y

sin x ,

y = 0,

0

x

вокруг каждой из следующих

прямых:

y = 0;

2) x = 0;

3)

x

2

;

4) x =

1;

5) x =

2;

6)

y = 1;

7)

y =

2.

73 x2

y2

4,

y = 2,

y = 0 вокруг оси Ох.

74.

y

x,

y

x2 вокруг: 1)

оси Ох; 2)

оси Оу.

75.

y

cos2x ,

y 0, x = 0,

где,

0

x

/ 4 вокруг: 1) оси Ох;

2) оси Оу.

76.

y

sin x ,

y

0,

где

2

х

3

вокруг

каждой

из

следующих прямых: 1) y = 0;

2) x = 0;

3) х

;

4) y =

2.

77.

y

2x x2 ,

y

0

вокруг каждой из следующих прямых:

1) x = 0;

2)

y

0;

3) x =

1;

4) y = 1.

78.

y

4/x,

x = 1,

x = 4,

y

0

вокруг: 1) оси Ох; 2)

оси Оу.

79.

y

1

, x

1,

x

1,

y

0

вокруг: 1) оси Ох; 2) оси Оу.

1

x2

80.

y

x2

1,

y

3x 1 вокруг оси

Оу.

Найти площадь поверхности, образованной вращением

вокруг оси Ох:

81.

Дуги синусоиды y

sin x от

x

0 до x .