Учебное пособие 800583
.pdf
|
x |
|
|
|
Длины выступающих |
||
|
|
|
|
стержней |
будем считать |
||
операторный |
|
u |
|||||
|
|
|
|||||
|
y |
|
значениями соответству- |
||||
|
ящик |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
|
|
|
ющих переменных х, у, u . |
|||
|
|
|
|
|
|||
Рис. 42. Функциональный (или |
На |
изменение длин |
|||||
стержней х и у – входных, |
|||||||
операторный) ящик для функции |
|||||||
или независимых перемен- |
|||||||
двух переменных |
. |
|
|||||
|
|
|
ных, ящик автоматически реагирует – изменяет длину стержня u – выходной (зависимой) переменной.
При желании операторный ящик можно воображать как радиотехнический прибор, преобразующий входные сигналы в выходные. Такая описательная модель допускает очевидное обобщение: если имеется несколько величин u1 , u2 ..., um ,
значение каждой из которых определяется значениями переменных x1 , x2 ..., xn , то имеем модель зависимости двух
векторных величин u (u1, u2 ,..., um ) и x (x1, x2 ,..., xn ) , принадлежащих пространствам разной размерности и возможно даже разной природы (рис. 43).
u2
Рис. 43 Функциональный ящик для зависимости векторных величин
2. Функция и область ее задания.
После этих замечаний, апеллирующих к наглядности, мы можем ввести фундаментальное математическое понятие функции n переменных.
Определение. Если каждой точке М из множества {М} точек n-мерного пространства E n ставится в соответствие
150
по известному закону некоторое число u , |
то говорят, что на |
множестве {М} задана функция u u(M ) |
или u f (M ) . При |
этом множество {М} называется областью задания функции u f (M ) .
Число u , соответствующее данной точке М из множества {М} называется частным значением функции в точке М. Совокупность {u} всех частных значений функции u f (M ) называется множеством значений этой функции.
Для функции u f (M ) используется также обозначение u f (x1,..., xn ) , где x1, x2 ..., xn – координаты точки М, или обозначение u
Таким образом, функция двух переменных ставит в соответствие каждой упорядоченной паре чисел (х,у), т. е. точке M (x, y) , принадлежащей некоторому подмножеству
точек плоскости, одно число (х,у) u ; функция трех переменных – упорядоченной тройке чисел (x, y, z) также сопоставляет вещественное число (х,у,z) u .
Как и прежде, для функции одной переменной, примем соглашение: в случае, когда функция определена некоторой формулой, и если только не оговорено противное, мы принимаем за область задания этой функции (область определения) наибольшее множество наборов чисел (x1,..., xn )
, на которых формула имеет смысл.
Рассмотрим примеры функций, заданных формулами.
Пример 1. u a2 x2 y2 , где а – действительное число. Областью определения этой функции является
множество всех |
точек плоскости, координаты которых |
||
удовлетворяют |
неравенству: |
a2 x2 y2 0, |
или |
x2 y2 a2 , т. е. замкнутый двумерный шар – круг радиуса а
151
с центром в начале координат. Множество значений функции – сегмент 0 u a .
Пример 2. u (x2 y 2 a2 ) 1 . Область задания этой функции является множество точек плоскости, лежащих вне круга радиуса а с центром в начале координат: x2 y2 a2 . Множество значений представляет собой открытую полупрямую u 0 (рис. 44).
y
a |
x |
Рис. 44. Область определения функции в примере 2 – внешность круга
Пример 3. u ln( y2 4x 8) . Область задания функции
–множество точек плоскости, координаты которых
удовлетворяют неравенству y2 4x 8 0 . Граница этой области (не входит в область определения!) – парабола, уравнение которой y2 4(x 2) .
Таким образом, границей области задания функции является парабола, ось которой совпадает с осью Ox , а
вершина находится в точке (2,0) |
(рис. 45). Для одного и того |
||||
же значения |
х точки |
M1 и M 2 , |
принадлежащие |
области |
|
определения, |
имеют |
большие |
по |
абсолютной |
величине |
152
ординаты, чем точки, лежащие на границе области. Для точек M1 и M 2 ординаты удовлетворяют неравенству y2 4(x 2) ,
а для точек параболы - y 2 4(x 2) .
Следовательно, в область определения войдут те, и только те точки, которые лежат левее параболы. Это пример незамкнутой односвязной неограниченной области.
y
0 |
2 |
x |
x |
|
|
Рис. 45 Область определения функции в примере 3
Пример 4. u arcsin(x2 y2 3) . Область задания
функции |
определяется |
неравенством |
1 x2 |
y2 3 |
1, |
которые |
равносильны |
неравенствами |
2 x2 |
y2 |
4 . |
Граничными линиями области определения являются
окружности x2 y 2 |
2 , |
x2 |
y 2 |
4 , |
которые принадлежат |
|
области |
определения. |
Таким |
образом, область задания |
|||
функции |
– кольцо |
(рис. |
46). |
Это |
пример замкнутой |
ограниченной неодносвязной области. Область 2 x2 y2 4
153
является двухсвязной, так как степень связности равна числу замкнутых кривых, ограничивающих область.
y
-2 |
0 |
2 |
2 |
x |
Рис. 46 Область определения функции в примере 4
Пример 5. u |
cos(x2 |
y 2 ) . Область задания функции - |
|||||||||||||||
множество |
точек |
|
плоскости, |
координаты |
|
которых |
|||||||||||
удовлетворяют неравенству |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
cos(x2 |
|
y2 ) 0 . |
|
|
|
|
|
||||||
Это неравенство эквивалентно неравенствам |
|
|
|
||||||||||||||
0 x2 |
y2 |
|
, |
2k |
|
|
x2 |
|
|
y 2 |
2k |
|
, |
||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
при k |
1,2,... |
. |
Таким |
образом, область |
определения этой |
||||||||||||
функции |
состоит |
из круга радиуса |
|
|
|
с центром в точке |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
O(0,0) и кольцеобразных областей (рис. 47). Областью |
|||||||||||||||||
значений функции является замкнутый отрезок 0 u |
1. |
3. Геометрическое изображение функций.
154
Подобно тому, как функцию одной переменной изображают в виде линии на плоскости – ее графика, можно геометрически истолковать и функции многих переменных. Однако график сохраняет наглядность только для функций двух переменных – в этом случае график представляется поверхностью в трехмерном пространстве.
y
|
|
x |
|
3 |
5 |
2 |
2 |
2 |
Рис. 47 Область определения функции в примере 5
Определение. Графиком функции двух переменных u f (x, y) называется множество точек трехмерного пространства (x, y, f (x, y)) , если точка плоскости (x, y) принадлежит области задания функции, а значение функции – области значений.
Изображение функции двух переменных осуществляется так: строим прямоугольную систему координат х, у, z и относим каждой точке (x, y) области определения функции
точку P(x, y, z) с третьей координатой, равной f (x, y) . Когда точка (x,y) пробегает область определения функции, соответствующая точка P(x, y, f (x, y)) описывает в пространстве некоторую поверхность. Эту поверхность и
155
принимают за геометрическое изображение функции, то есть – график функции.
Пример 6. Изобразить график функции
z a2 x2 y2 . Областью задания этой функции, как мы
знаем, является круг с центром в начале координат и радиусом a. Графиком этой функции является верхняя половина сферы x2 y2 z 2 a2 (рис. 48).
z
a
a
x
y
Рис. 48 График функции в примере 6.
Если разрешить это уравнение относительно z, получим
две |
однозначные |
функции |
z |
a2 x2 y2 , |
|
|
|
|
|||
z |
a2 x2 y 2 . Графиком первой из них является верхняя |
полусфера, графиком другой – нижняя полусфера.
156
Пример 7. Изобразить график функции z x2 y2 . Областью определения этой функции является множество всех точек плоскости xOy , областью значений – полупрямая z 0 .
Функции z x2 y2 соответствует график – параболоид вращения (рис. 49). Это поверхность, описываемая параболой z x2 при ее вращении вокруг оси Oz .
z
0
|
y |
x |
Рис. 49 |
|
|
|
График функции |
Пример 8. Изобразить график функции z x2
(рассматриваемой как функция |
двух переменных). Очевидно, |
функция определена для всех |
точек (x, y) плоскости. Ее |
графиком является параболический цилиндр (рис. 50).
157
z
y |
x |
Рис. 50 График функции
4.3. Общее понятие функции: функция как отображение пространства на пространство*)
Всовременной математике слово функция употребляется
вчрезвычайно широком смысле. Фактически функция оказывается базовым понятием всей математики. Функции со значениями в линейном пространстве (т.е. векторные функции), - один из важных объектов исследования в математике и, в последние десятилетия, являются рабочим аппаратом в приложениях. Они используются в теории дифференциальных и интегральных уравнений, теории случайных процессов, теории оптимизации, функциональном анализе и других разделах математики. С их помощью
______________________________________________________
*) Этот раздел предназначен для самостоятельного изучения студентами.
158
разработаны математические модели процессов управления и контроля, теоретической физики и экономики.
Определение. Если даны два множества X и Υ, то соответствие f , которое каждому элементу x из X относит некоторый элемент y, обозначаемый f (x) из Υ, называется функцией, определенной на множестве X со значениями в множестве Υ, или отображением ƒ множества X в множество Υ (рис. 51).
f
Y
X
f
Рис. 51 Функция, “склеивающая” образы двух точек.
f |
|
|
В этом случае пишут Χ |
Υ или ƒ: Χ |
Υ или y f (x) . |
Из определения следует, что функция (или отображение) |
||
состоит из трех объектов: |
множества |
X , называемого |
областью определения (или областью задания), множества Υ,
которому принадлежат значения функции, и |
правила |
|
f , |
|||||
ставящего в соответствие каждому элементу множества |
X |
|||||||
некоторый элемент множества Υ. |
|
|
|
|
|
|
||
Значение |
y f (x) |
функции на |
элементе |
|
x называют |
|||
образом элемента x при отображении ƒ. Элемент x |
из y |
f (x) |
||||||
, имеющий в качестве образа при отображении |
f |
элемент |
y |
|||||
из Υ, называется прообразом элемента |
y |
|
при |
этом |
||||
отображении. |
Прообраз |
множества |
B |
Y |
обозначается |
f 1(B) .
159