Учебное пособие 800583

z x2 y3

t 2 (t 2 )3 t

8 , откуда

dz

8t 7 , что, безусловно,

dt

совпадает с результатом, полученным по формуле (4.43).

Если z

f (x, y) ,

где y

(x) , то z f (x, (x)) –

роль t

играет теперь х, получим

dz

z dx

z

dy

, а так как

dx

1

, то

dz

z

z

dy

.

dx

dx

x dx

y dx

dx

x

y dx

Аналогично решается вопрос

о

производной

сложной

двух. Например, если u

f (x, y, z) , где x x(t) ,

y y(t) ,

z z(t) , то формула (4.43) принимает вид

du

u dx

u dy

u

dz

.

(4.44)

dt

x dt

y dt

z dt

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть z

f (x, y) –

функция двух переменных

х и

у, которые, в свою очередь,

Например, пусть

x x(u, v) ,

y y(u, v) . Тогда функция

z f x(u, v), y(u, v)

является сложной функцией независимых

Если функции

x(u, v)

и

y(u,v) дифференцируемы в

точке P(u, v) , а функция z

f (x, y) дифференцируема в точке

M (x, y) , где x x(u, v) ,

y

y(u, v) , то сложная функция

z f x(u, v), y(u, v)

дифференцируема в точке P(u, v) , причем

z

z

x

z

y

,

z

z

x

z

y

.

(4.45)

u

x

u

y

u

v

x

v

y

v

Примеры.

u 2

u 2

1.

Пусть

z

f (x, y) ,

x

2v,

y

.

По формулам

v

(4.45) имеем

z

z

2u

z 2u

,

z

z

2

z

u 2

.

u

x

y

v

v

x

y

v2

2.

Пусть z

x2 y2 ,

x

u

v ,

y

u

. По формулам (4.45)

v

получаем

z

2xy2

1 2x2 y

1

;

z

2xy2 1 2x2 y

u

.

u

v

v

v2

Подставьте самостоятельно в эти формулы выражения

x u

v ,

y

u

и, с другой стороны,

найдите

z

и

z

,

v

u

v

предварительно выразив z через и и

v,

а затем сравните

полученные результаты.

3.

Пусть

z

x2

y2 , x

u cosv,

y

u sin v .

По

формулам (4.45) имеем

z

2x cosv 2 y sinv;

z

2xusinv 2 yucosv.

u

v

Если

z

f (x) ,

где

x

x(u, v) ,

то

z

f (x,(u,v))

–

по формулам (4.45):

z

dz

x

,

z

dz

x

.

u

dx

u

v

dx

v

w w x w y w z

,

w

w

x

w

y

w

z

.

u

x u

y u

z u

v

x v

y v z v

2. Производная по направлению. Градиент.

Рассмотрим

функцию

z

f (M ) ,

определенную в

некоторой окрестности

точки

M (x, y) ,

и произвольный

единичный вектор l

{cos

; cos

} (рис. 61).

M (x, y)

в направлении вектора l введем понятие производной

по направлению. Для этого проведем через точку

М прямую

L так,

чтобы одно из направлений на ней

совпадало с

точку M1(x

x, y

y) .

Обозначим величину отрезка

MM1

через

l ,

т.е.

l

(

x)2

(

y)2 , если

точка

M1

расположена так, как на рис.61, и

l

( x)2

( y)2 , если

точка

M1

расположена

по

другую

сторону

от точки М.

Функция f (M ) получит при этом приращение

z f (x

x, y

y)

f (x, y).

Определение

1.

Предел

отношения

z

при

l

l 0

(M1

M ) ,

если

он

существует,

называется

z

lim

z

z

.

направлению вектора l и обозначается

, т.е.

l

l 0

l

l

Переходя к пределу в этом равенстве при

l

0 ,

получаем формулу для производной по направлению

z

z

cos

z

cos .

(4.46)

l

x

y

В частности,

z

z

при

0 и

;

z

z

при

l

x

2

l

y

Пример.

Вычислить производную функции z

x2

y2x

M1

в точке M (1,2)

по направлению вектора MM1 ,

где

точка

с координатами (3,0).

Решение. Найдем единичный вектор l , имеющий данное

направление:

MM1

{2; 2}

2i

2 j;

MM1

2

2;

MM1

2i

2 j

1

1

l

i

j,

MM1

2

2

2

2

откуда cos 1/ 2, cos

1/

2 . Вычислим частные произ-

водные

функции

в

точке

M (1,2) :

f x (x, y)

2x

y2 ,

f y (x, y)

2xy,

откуда

f x (1,2)

6 , f y (1; 2)

4.

По формуле

(4.46) получим

z

1

1

6

4

2.

l

2

2

Определение 2. Градиентом функции

z

f (M ) в точке

M (x, y) называется вектор, координаты

которого

равны

соответствующим частным производным

z

и

z

, взятым

x

y

в точке

M (x, y) .

Обозначение: grad z

z

;

z

.

x

y

Используя понятие градиента функции и учитывая, что

вектор l

имеет координаты cos

,

cos

, представим формулу

(4.46) в виде скалярного произведения векторов grad z

и

l

:

z

z

z

(4.47)

cos

cos

grad z l

l

x

y

С другой стороны, по определению скалярного

произведения имеем

,

(4.48)

grad z l

grad z

l

cos

1, получаем

z

l

grad z

cos .

l

Из последнего

равенства следует, что производная

cos 1 ( 0) , т.е. когда направление вектора

l совпадает с

направлением grad z .

При этом

z

grad z

. Таким образом,

l

градиент функции z

f (M ) в точке M (x, y)

характеризует

для функции трех

переменных

u f (x, y, z) ,

выводится

формула

u

u

cos

u

cos

u

cos

,

l

x

y

z

вводится понятие

градиента

grad u

u

;

u

;

u

и

x

y

z

2 z

f xx (x, y)

f (2)

(x, y);

2 z

f yx (x, y)

f yx(2) (x, y);

x2

y

x

x2

2 z

f yy (x, y)

f (2)

(x, y);

2 z

f xy (x, y)

f xy(2) (x, y).

y 2

x

y

y 2

Примеры.

1.

z

x4

4x2 y3

7xy

1. Имеем

z

4x3

8xy3

7 y,

z

12x2 y2

7x. Следовательно,