Учебное пособие 800514

УДК 510(075)

Федотенко Г.Ф., Ююкин Н.А. Практические занятия по математической логике и теории алгоритмов: Учеб. пособие. Воронеж: Воронеж. гос. техн. ун-т, 2005. 130 с.

В учебном пособии рассматриваются краткие теоретические сведения, примеры, упражнения и задачи по теории множеств, бинарным отношениям, булевым функциям, формализации понятия алгоритма и оценки его сложности.

Учебное пособие соответствует требованиям государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по специальности 090102 «Компьютерная безопасность», специальности 090105 «Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем», специальности 090106 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем».

Учебное пособие подготовлено в электронном виде в текстовом редакторе MS Word и содержится в файле «Практика (Мат. ло-

гика) .rar.».

Табл. 27, ил. 23, библиогр.: 8 назв.

Научный редактор д-р физ.-мат. наук, проф. И.Л. Батаронов Рецензенты: кафедра теоретических и прикладных математи-

ческих дисциплин Воронежского института МВД России (нач. кафедры д-р физ.-мат. наук, проф. В.В. Меньших); д-р физ.-мат. наук, проф. В.Н. Нечаев

©Федотенко Г.Ф., Ююкин Н.А., 2005

©Оформление. ГОУВПО ―Воронежский государственный технический университет‖, 2005

ВВЕДЕНИЕ

Данное пособие предназначено для студентов ВГТУ, обучающихся по специальностям:

090102 – Компьютерная безопасность;

090-105 – Комплексное обеспечение информационной безопасности автоматизированных систем;

Кроме этого оно может быть использовано в качестве дополнительного пособия в курсе ―Дискретная математика‖ студентами, обучающимися по специальности:

090106 – Информационная безопасность телекоммуникационных систем.

Дисциплина ―Математическая логика и теория алгоритмов‖ обеспечивает приобретение знаний и умений в соответствии с государственным, общеобразовательным стандартом, и при этом содействует фундаментализации образования, формированию мировоззрения и развитию логического мышления.

Математическая логика и теория алгоритмов представляет собой раздел математики, в котором изучаются основания математической логики и общие свойства алгоритмов, включающие: формулы алгебры высказываний; представление булевых функций формулами; критерии полноты систем булевых функций; минимизацию булевых функций; исчисление высказываний и предикатов, основные подходы к формализации понятия алгоритма; в частности, с помощью машины Тьюринга; а также вырабатываются практические навыки по использованию вышеприведенных понятий.

Целью курса является формирование у студентов теоретических знаний, практических умений и навыков в области моделирования процессов и явлений в естествознании и технике, с возможностью употребления математических символов для выражения количественных и качественных отношений объектов, необходимых для выполнения служебной деятельности в области защиты информации на высоком профессиональном уровне.

Достижению данной цели служат следующие задачи:

изучить максимально широкий круг понятий математической логики и теории алгоритмов;

получить навыки решения учебных и практических задач;

овладеть методами алгоритмизации; Дисциплина ―Математическая логика и теория алгорит-

мов‖ относится к числу прикладных математических дисциплин. Она основывается на знаниях, приобретенных студентами при изучении дисциплины ―Алгебра‖. Знания и навыки, полученные при изучении дисциплины ―Математическая логика и теория алгоритмов‖ используются при изучении обще профессиональных и специальных дисциплин.

1.КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ О МНОЖЕСТВАХ

ИОТНОШЕНИЯХ

1.1Элементы теории множеств. Прямое произведение

Под множеством понимается совокупность некоторых объектов (элементов), объединенных некоторым признаком. Множества обычно обозначают большими буквами алфавита

,, , , , . Элементы, входящие в множество, обо-

множества считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Для описания множества пользуются двумя способами. Первый способ состоит в простом перечислении его элемен-

тов. Так, запись 0,1,5 означает, что множество со-

стоит из трех чисел 0,1 и 5. Второй способ состоит в определении множества с помощью некоторого свойства P, позволяющего определить, принадлежит ли данный элемент данному множеству или нет. В этом случае используется коллективизирующее обозначение

x : P(x) ,

которое читается следующим образом: множество состоит из всех элементов x , для которых P(x) истинно. Если свой-

во 1,2,3,4,5 можно задать следующим образом:

1,2,3,4,5 x : x целое число из интервала 1,5.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается .

Если все рассматриваемые в данный момент множества являются подмножествами некоторого множества U , то множество U называют универсальным для данного рассмотрения.

Для наглядного представления отношений между подмножествами какого-либо универсального множества используются диаграммы Эйлера-Венна.

Операции над множествами имеют следующие приоритеты в порядке убывания: операция взятия дополнения, операция пересечения, операция объединения.

Отметим следующие основные законы для операций над множествами:

( коммутативность объединения); (коммутативность пересечения);

Пример 1. Равны ли следующие множества:

Решение. Для доказательства равенства произвольных множеств нужно проверить, что первое множество включено во второе, а второе, в свою очередь, включено в первое, т.е. любой элемент первого множества является элементом второго множества, а любой элемент второго множества является элементом первого множества.

Проверка дает положительный результат для множеств из пункта 1). Это можно наглядно показать на следующей схеме, где стрелка, идущая от элемента, показывает, какой элемент в другом множестве ему соответствует.

Множества из пункта 2) неравны, так как, например, элемент 1из первого множества не имеет себе равного во втором множестве. Второе множество состоит из единственного элемента – множества 1,2 .

Множества, указанные в пункте 3), неравны, так как элементами первого множества являются числа 1,2,3 , а элементами второго множества являются множества, состоящие из одного элемента 1 , 2 , 3 .

Пункт 4) сделайте самостоятельно.

Пример 2. Следующие множества заданы перечислением своих элементов, задайте эти множества с помощью характерного для их элементов свойства.

1) 2,4,6,8,...,32 ;

2)Киев, Минск, Кишинев,Таллинн, Вильнюс, Рига, Москва,

Ереван,Тбилиси, Баку,Ташкент, Ашхабад, Душанбе, Алма Ата,Фрунзе

Решение. Множество представляет собой множество четных натуральных чисел от 1 до 32, поэтому это множество можно записать в виде

Решение. В качестве примера множеств, удовлетворяющих условию из пункта 1, можно рассмотреть следующие