Учебное пособие 800514

Заполним таблицу

Замечание 1. Для исследования полноты вовсе не обязательно заполнять все клетки таблицы. Если получили, что одна из функций не принадлежит какому – либо из классов, то принадлежность остальных функций этому классу можно не исследовать.

Замечание 2. При исследовании полноты системы полезно использовать следующее утверждение: если некоторая система функций F содержит в себе как часть полную систему

Замечание 3. Если в одном из столбцов таблицы получены все «+», т.е. все функции fi системы F принадлежат ка- кому-то классу, то система функций не является полной.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Выразить с помощью суперпозиций:

4.Доказать неполноту систем функций:

1)x ;

5. Используя критерий полноты, выяснить, являются ли полными следующие системы функций. В полных системах выделить базис:

2.8 Логика предикатов

Понятие предиката обобщает понятие высказывания. Предложение или утверждение, содержащее одно или не-

сколько переменных, при подстановке вместо которых конкретных значений из некоторых множеств мы получаем высказывание (истинное или ложное), называется предикатом. Количество переменных, от которых зависит предикат, называет-

ся местностью или арностью.

Пусть M1 , M 2 , , M n — множества элементов произвольной природы.

Определение 1: n-местным предикатом называется функция P x1 , x2 , , xn , зависящая от n переменных, оп-

ределенная на множестве M M1 M2 Mn и принимающая на этом множестве значение 1(истина) или 0 (ложь).

Например, P x = [натуральное число x кратно 5] – од-

Само высказывание считается нуль-местным предикатом. Переменные x1 , x2 , , xn , от которых зависит предикат,

называются предметными переменными. Конкретные значения предметных переменных называются предметными константами.

Множество M , на котором задан предикат, называется

областью определения предиката.

Множество E p M , на котором предикат принимает только истинные значения, называется множеством истин-

Различают четыре типа предикатов:

1.Предикат P x1 , x2 , , xn называется тож-

наборе a1 ,a2 , ,an M предикат принимает значение 1 (истина).

2. Предикат P x1 , x2 , , xn называется тождественно ложным на множестве M , если E p , т.е. ес-

ли на любом наборе значений переменных предикат принимает значение 0 (ложь).

3.Предикат P x1 , x2 , , xn называется выпол-

вержимым, если его множество истинности E p не совпадает с его областью определения, т.е. существуют такие наборы

ленные на одном и том же множестве, одной и той же местно-

EB E A (см. рис.)

Y

1

-1

Из определений следует, что каждый тождественно истинный предикат является выполнимым, но не является опровержимым, тогда как каждый тождественно ложный предикат является опровержимым, но не является выполнимым. Выполнимый предикат не обязательно является тождественно истинным. Опровержимый предикат не обязательно является тождественно ложным.

Заметим, что отношение равносильности двух предикатов является отношением эквивалентности. Переход от предиката

P x к равносильному ему предикату Q x называется рав-

носильным преобразованием первого.

Уравнения и системы уравнений, неравенства и системы неравенств, прочие математические объекты представляют со-

бой предикаты. При их решении мы проделываем равносильные преобразования над ними, целью которых является поиск множества истинности данного исходного предиката.

Имеет место утверждение:

Два предиката, имеющие одну область определения, равносильны тогда и только тогда, когда один из них является следствием другого:

P Q тогда и только тогда, когда P Q и Q P .

Так как предикаты могут принимать два значения 1 или 0, то к ним применимы все логические операции алгебры высказываний. В результате получаем новые предикаты.

Например, конъюнкцией двух предикатов P x и Q x называется новый предикат P x & Q x , который принимает значение 1 при тех и только тех конкретных значениях x M , при которых каждый из предикатов P x и Q x

принимает значение 1, и принимает значение 0 во всех остальных случаях.

чем ; операция сильнее, чем . Введение скобок нарушает принятый порядок выполнения операций.

Ниже приведены некоторые равносильности:

Кроме перечисленных выше операций введены еще две операции связывания кванторов, присущи только предикатам: квантор общности и квантор существования . Эти две операции не имеют аналогов среди операций над высказываниями.

Пусть P x — одноместный предикат, определенный на множестве M .

Определение 3: Квантором общности предиката P x

называется высказывание x P x (читается: для всякого x

P x истинно), которое истинно, когда предикат P x тождественно истинный, и ложно в противном случае, т.е.

т. к. ей можно придавать различные конкретные значения из

вует x , при котором P x истинно), которое истинно, если