Учебное пособие 800514

2. Если на выход алгоритма поступает x Df , то алго-

ритм никогда не заканчивается.

Заметим, что множество вычислимых функций не совпадает с множеством ―практически вычислимых‖ функций, которые связаны с ограничениями современных вычислительных машин.

Определение вычислимой функции не является формальным. Формализацией этого понятия служит частичнорекурсивная функция.

3.2 Машины Тьюринга

Машина Тьюринга — это математическая модель идеализированной цифровой вычислительной машины. Идея такой машины, предложенная английским математиком А.Тьюрингом в тридцатых годах XX века, связана с его попыткой дать точное математическое определение понятия алгоритма.

Машина Тьюринга (МТ) состоит из четырех частей: ленты, считывающей головки, устройства управления и внутренней памяти.

1.Лента (внешняя память МТ) — бесконечная в обе стороны полоска, разбитая на ячейки (равные клетки). В каждую

ячейку в дискретный момент времени может быть записан только один символ (буква) из внешнего алфавита A ,a1 , a2 , , an 1 , n 2 . Пустая ячейка обозна-

чается символом . В этом алфавите A в виде слова (конечного упорядоченного набора символов) кодируется та информация, которая подается в МТ. Машина перерабатывает информацию, поданную в виде слова, в новое слово.

2.Считывающая головка (некий считывающий элемент) перемещается вдоль ленты так, что в каждый момент времени она обозревает ровно одну ячейку ленты. Головка может

считывать содержимое ячейки и записывать в нее новый символ из алфавита A . В одном такте работы она может сдвигаться только на одну ячейку вправо ( П ), влево ( Л ) или оставаться на месте ( Н ). Обозначим множество перемещений (сдвига) головки D П , Л , Н .

3. Память машины представляет собой некоторое конечное

назначение: q1 — начальное внутреннее состояние, q0 —

заключительное внутреннее состояние (стоп-состояние). Машина работает во времени, которое считается дискретным и его моменты занумерованы: 1, 2, 3, … . В каждый момент времени МТ характеризуется положением головки и внутренним состоянием. Например, под ячейкой, над которой находится головка, указывается внутреннее состояние машины.

q1

4.Устройство управления (УУ) в каждый момент времени t в зависимости от внутреннего состояния машины и считывающего в этот момент символа на ленте, над которым находится головка, выполняет следующие действия:

Пример 1. Построить машину Тьюринга, которая в алфавите A a ,b, слово " abb" преобразует в слово

" bba" .

Решение. Составим программу МТ:

В результате работы МТ над словом " abb" будут следующие шаги:

q0 (заключительная конфигурация)

Работа МТ закончена.

Работу МТ можно описать следующим образом: она запоминает 1-ю букву исходного слова (или при этом стирает его); головка движется вправо до первой пустой клетки, в которую и записывается первая буква исходного слова.

Замечание. Часто программу МТ записывают в другой, более компактной форме в виде таблицы. Например, программа примера 1 может выглядеть следующим образом:

Пример 2. Построить машину Тьюринга, вычисляющую числовую функцию

S x x 1, x N .

Решение. Пусть внешним алфавитом данной МТ явля-

q1

Программа МТ выглядит следующим образом:

q1 1 1 П q1 ,

q1 1 Н q0 ,

согласно которой для любой начальной конфигурации, когда считывающая головка обозревает одну из единиц, в каждый момент эта единица остается на месте, и головка сдвигается вправо на одну ячейку. Этот процесс продолжается до тех пор, пока головка не выйдет на пустую ячейку. Тогда в пустую ячейку записывается единица, головка остается на месте. Ма-

шина перейдет в состояние q0 .

Можно показать, что все арифметические функции натурального аргумента вычислимы по Тьюрингу. Например, ра-

бота МТ в алфавите ,1 при вычислении числовой функции f x, y x y можно описать следующей программой

лимой по Тьюрингу, если существует МТ такая, что для любых

m1 ,m2 , ..., mn если при x1 m1 , x2 m2 , ..., xn mn име-

и в заключительной конфигурации на некотором участке ленты будет записано слово 1m 1 , а остальные ячейки окажутся пустыми. Если значение функции f m1 ,m2 , ..., mn не определено, эта МТ не применима к слову (**).

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1.Выяснить, применима ли МТ, задаваемая программой в алфавите 0,1

к слову P :

1) P 13 02 12 ;

2)P 13 0 13 ;

3)P 10 01 2 1.

Если применима, то найти результат применения МТ к слову

P .

Ответ: В случаях 1), 3) — МТ применима,

2)— МТ не применима.

2.По заданной МТ и начальной конфигурации K1 найти заключительную конфигурацию.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данное учебное пособие вошли основания математической логики и общие свойства алгоритмов, включающие: формулы алгебры высказываний; представление булевых функций формулами; критерии полноты систем булевых функций; минимизацию булевых функций; исчисление высказываний и предикатов, основные подходы к формализации понятия алгоритма; в частности, с помощью машины Тьюринга и др.

Ввиду того, что в пособии рассмотрен достаточно широкий круг вопросов, авторам пришлось пойти на сравнительно упрощенное их изложение. Это необходимо было сделать для эффективного усвоения данного курса, читаемого в техническом вузе. При этом, достигнута главная цель – дать базовые понятия и принципы математической логики и теории алгоритмов.