Учебное пособие 800514

x

y

z

x

y ;

i) xyz |

x

y

z ;

j)

k)

xyz

x

y

z | y

l) x1

x2 ...

xn

y1

y2

...

yn.

3.

Установить, какие из следующих формул явля-

ются тождественно истинными, тождественно ложными:

b)

x

y

y

x ;

a) x

y

x & y ;

c) x

y

y

x ;

d) x

x y ;

f)

x

y

x y ;

e) xy

x | y ;

g) x y

x

y ;

h) x y

x y ;

i)

x

y

z

y

x

y

z

j)

x

y

x

z

4.

a)

Известно, что импликация x

y истинна, а

эквивалентность x

y ложна. Что можно сказать о значении

импликации y

x ?

b)

Известно,

что эквивалентность

x

y истинна.

Что

можно сказать о значениях x

y и x

y ?

c)

Известно, что

x имеет значение 1. Что можно сказать

о значениях импликации x

y

z ;

x

y

z ?

d)

Известно,

что

x

y имеет значение 1.

Что можно

сказать

о

значениях

z

x

y ;

x

y

y ;

x

y

z ?

a) 1 x

y 0;

6.

Проверить,

справедливы ли следующие соотно-

шения:

а)

x & y

z

x & y

x & z ;

b)

x

y

z

x

y

x z

;

c)

x

y

z

x

y

x

z ;

d)

x

y

z

x

y

x

z ;

e)

x & y z

x & y

x & z ;

f) x & y

z

x & y

x & z ;

g)

x

y

z

x

y

x

z ;

h)

x

y

z

x

y

x

z .

7.

Используя основные равносильности, доказать

равносильность формул U и B, когда:

a) U x z xy xz ;

B z

xy ;

b) U x

y

xy

x

y ; B xy yx ;

c)

U

x

xy

x

y

y z ;

B

y

x

z ;

d)

U

x | y

z

x

z ;

B x

y z ;

e)

U

z

y

x

xz ;

B

xyz

yz 1;

f)

U

x

y

z | xyz ;

B

xyz

1.

8.

Выразить все основные операции:

a)

через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание;

b)

через конъюнкцию и отрицание;

c)

через дизъюнкцию и отрицание;

d)

через импликацию и отрицание.

9.

a) Выразить отрицание импликации через основ-

Пусть E 0,1

. Тогда E n E E

... E — множество

n

раз

E n

1 , 2 ,...,

i E , i 1, 2, 3, ... , n .

n

Говорят,

что задана

булева

функция n переменных

двоичному набору

1 ,

2 ,...,

n

E n

ставится в соответст-

вие 0 или 1: f : E n

E .

Таким образом, область определения булевой функции

f x1 , x2 , ... , xn есть

D F

E n ,

множество

значений —

R f

E , где мощность

D

f

2n ,

R f

2.

Булева функция может быть задана при помощи:

1.

описания;

2.

таблицы истинности;

3.

формулы алгебры высказываний;

4.

множества истинности

1 ;

E f

f 1 , 2 , ... , n

f

1 ,

2 , ... , n

отношение

на множестве E . Оно задает булеву функцию

по правилу:

f

1,

2 ,... ,

1, если

1,

2 ,... ,

n

n

0, если

1, 2 ,... , n

.

И наоборот,

булева

функция f ( x1 , x2 ,..., xn )

одно-

значно

определяет

множество

истинности

E f

f

1 ,

2 , ...,

n

f

1 ,

2 , ...,

n

1 .

В случае описанного выше примера

E f

0 0 0 , 0 01 , 01 0 , 1 0 0 .

Имеет место

Теорема. Всякая булева функция представима в виде

формулы алгебры логики через операции

, & и

, и это пред-

ставление таково:

f x1 , ..., xn

x1 1 & x2

2

& ... & xmm

&

f

1 ,

2 ,...,

m , xm 1 , ..., xn ,

1 ,..., m

где

1 , 2 ,...,

m

— различные двоичные наборы значений

переменных

x , ..., x

n

,

1

m

n,

x

i

x

,

если

1

i

i

i

1, x

i

x

, если

i

0 ,

i

1, ..., m .

i

i

Приведенная

выше

в

примере

функция

f

x1 , x2 , x3

представима формулой:

f

x , x

2

, x

3

x0 x0 x0

f

000

x0 x

0 x1 f

001

x0 x1 x0

f

010

1

1

2

3

1

2

3

1

2

3

x 0 x1 x

1 f 011

x

1 x 0 x 0 f 10 0

x

1 x

0 x1 f 101

x1 x1 x 0 f 110

x1 x1 x1 f 111

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

x1 x2 x3

x1 x2 x3

x1 x2 x3

x1 x2 x3 .

Булевы функции вида

f1

x,

f2

x,

f3

x y

f4

x & y,

f5

x y,

f6

x

y,

f7

x y,

f8

x y,

f9

x

y

Булева функция

f x1 , , xn

называется двойствен-

ной

к

функции

f

x1 , , xn

,

если

f

x1 , , xn

f

x1 , , xn .

Так,

функция

f

x, y

x & y ,

двойственна

к

f

x, y

x y :

f x , y x y x & y x & y .

Принцип

двойственности.

Пусть

f

x1 , , xm ,

g1 x1 , , xn , …,

gm x1 , , xn

— булевы функции и

пусть

x1 , , xn

f g1

x1 , , xn

, , gm

x1 , , xn

Пример.

Пусть f

x

xy ,

g

x y .

Доказать, что

f g .

Доказательство. Построим f

и g :

f

f x, y

x x y x x y x & xy

x & x y

x & x y

x & y;

g

g x, y

x y x & y x & y.

Видим,

что

f

g

. Следовательно,

f g , т.е.

2n

22n , что и доказывает теорему.

A

2

x

y

z

f

0

0

0

1

0

0

1

0

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

0

1

0

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

5.

Двоичные наборы вида d1 ,...,dn и d1 ,...,d n

6.

Построить двойственную функцию для функции

f, если:

1)

f

x

y x

z y z ;

2)

f

01011100 ;

3)

f

x

y

x .

8.

Доказать или опровергнуть равенство двух

функций, используя принцип двойственности:

1)

f x

y z ,

x

y

x

y ;

2)

f x

y

z ;

x

y

x

y ;

3)

f

x

y

z ;

xy

xz;

4)

f

x y

z ;

xy xz;

5)

f

x

y z ;

x y

x z .

9.

Доказать, что

f x, y

1 ,если:

1)

f

x

y

y

x ;

2)

f

x

y

x

y ;

x | y ;

3)

f

xy

y ..

4)

f

x

y

x

Пусть x - булева переменная.

Введем

обозначение: x

x

x

,

где параметр

0,1 .

Очевидно,

что

x

x , если

1 ,

т.е.

x , если

0

x1

x , x 0

x .

Легко видеть, что

x

1 тогда

и только

тогда,

когда

x

.

Пусть x1 , x2 , ..., xn

- булевы переменные.