Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 800514

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2022

Размер:

3.99 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

существует хотя бы один элемент x M , для которого P x истинно, и ложно в противном случае, т.е.

x P x	1,	если	P x	выполнимый предикат;
	0,	если	P x	0.

В высказывании			x P x	переменная x связана кванто-

ром существования . Заметим, что символы и происходят от первых букв английских слов «All» (все) и «Exist» (существовать).

Пример	2. Пусть		P x		x	3 ,	определенный на
множестве	натуральных чисел					N . Тогда высказыва-
ние x P x	ложно, высказывание					x P x		истинно.
		Пример 3. Даны предикаты
P x		x 2	x	1	0,	x	R	и

				2

	Q x	x 2	5x 6 0, x R ,

определенные на множестве действительных чисел. Установить, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:

1.	x P x	3.	x Q
2.	x P x	4.	x Q

Решение. Т.к. квадратный трехчлен

x 2

0 при всех x

R , то выска-

зывания

x P x

истинны.

Т.к. уравнение x 2

6 0 имеет два действитель-

ных корня

2 и

то предикат

Q x принимает

значение 1 только при x 2 и при x 3, а значение 0

в ос-

тальных случаях. Поэтому высказывание

x Q x ложно, вы-

сказывание x Q x истинно.

Если

одноместный предикат

P x

задан на конечном

множестве M a1 ,a2 , ,an , то нетрудно видеть, что

x P x P a1 & P a2 & & P an ;

x P x P a1

P a2

P an ,

т.е. кванторные операции обобщают операции & и

на

случай бесконечных множеств.

Считается, что кванторы «связывают» сильнее, чем опе-

рации логики высказываний.

Имеют место формулы связи кванторов:

x P x

x P x и x P x

x P x ,

которые широко используются при равносильных преобразованиях в логике предикатов.

Докажем первое равенство: пусть:


x P x 0		x P x 1 P x 1 P x 0			x P x 0 .

Второе равенство доказывается аналогично.

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам.

Например, применяя квантор общности по переменной x к двухместному предикату

P x, y	x	y 0, x, y R	получаем одноместный
предикат, зависящий от переменной			y :

x P x, y

y ;

x P x,1

(истина),

x P x,

0 (ложь).

К предикату

можно применить кванторные опера-

ции по переменной

y .

В результате получим высказывание:

x P x, y или

x P x, y .

Заметим, что перестановка любых кванторов местами,

вообще говоря, изменяет логическое значение высказывания.

Пример 4. Показать, что высказывания

y P x, y

x P x, y

имеют различные логические значения,

где

двухместный предикат P x, y

y определен на мно-

жестве M

N N .

Решение: Высказывание

y P x, y

означает утвер-

ждение, что для любого натурального числа

x найдется нату-

ральное число

y , большее числа x . Это высказывание истин-

но.

Высказывание

x P x, y

означает, что существует

натуральное число y , которое больше любого натурального числа x . Это высказывание, очевидно, ложно.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Среди следующих предложений выделите предикаты, для каждого из предикатов укажите одну из возможных областей определения и в соответствии с ней множество истинности:

1)Луна есть спутник Венеры;

2)Планеты x и y принадлежат Солнечной системе;

3)5 5 70 6 10 150;

4)	x 2	3x	2 0 ;
5)	x 4	3x	8 ;
6)	Любое простое число p не имеет делителей, отлич-

ных от себя и 1;

7)Натурально число n не меньше 1;

8)Треугольник ABC равен треугольнику A1 B1C1 ;

9)	x 2	2x		1	0;
10)		1	tg2 x		1			;

						cos2
						cos2	x
11)		ln	x	sin x .
2.		Даны предикаты P x : « x 2 4							0 » и Q x :
« 3x 2	17 ». Найти множества истинности этих предикатов,
если их область определения есть:
1) R ;		2) N .
3.		Будут		ли	следующие предикаты				равносильны

или один из них является следствием другого? (Предметные переменные в предикатах принадлежат R )

1)	x	y 15 и	xy	15 ;
2)	lg ab	1 и lg a	lg b	1;

sin2

cos2

1 и tg 2 x

;

cos2

2log2 x

y и y

x ;

x 2

0 и 2

cos x ;

x y z и x y x y

zy ;

x 3

y 3

0 и x 2

y 2 0 .

4.Найти множества истинности предикатов:

D x

1)	x 2	3x 2		;	2)	x 2 1	3;
1)	x 2	4 x 3		;

3)	x 2	13x 40 0	;	4)	x 2	5x 6	0.
	2x 2	x 30 0			x 2	2 x 3
5.		На множестве M		1,2,3, ,20 заданы пре-

дикаты:

A x : « x не делится на 5»; B x : « x — четное число»; C x : « x — число простое»;

: « x кратно 3».

Найдите множество истинности следующих предикатов:

1)	A x & B x ;
1)
3)	C x & D x ;


5)		B x & D x ;

7)	B x & D x ;
9)		A x	B x ;
9)
11)	C x		D x ;

13)		B x	D x ;
15)		A x	B x		D x ;

17)		D x		C x ;
19)		A x & C x			D x ;
19)

2)	C x & B x ;
4)	B x & D x ;


6)	A x & D x ;
6)
8)	A x & B x & D x ;
8)
10)	B x	C x ;
12)	B x	D x ;

14)	B x		D x ;
16)	C x			A x ;
18)	A x			B x ;

20)	A x & D x C x .

6. Установить, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны, при условии, что область определения предикатов совпадает с R .

1) x x 5 x 3 ;

2)	x	x 2	x	1	0 ;

				2
				2
3)	x	x 2	x	1	0 ;
4)	x	x 2	5x	1	0 ;
5)	x x 2		5x 1 0 & x 2				2x 1 0 ;
6)	x x 2		5x 1 0 & x 2				6x 8 0 ;
7)	x x 2		6x 8 0			x 2	6x 8 0 ;
8)	x x		2,5		x 2	6x 8 0 ;
9)	x x		3,5		x 2	6x 8 0 .
7.		Записать предикаты, полученные в результате
логических операций над предикатами							P x , Q x и R x ,
множества истинности которых						E	заштрихованы на сле-
дующих рисунках:

8. Приведите примеры таких значений a , для которых данное высказывание: а) истинно; б) ложно (область определения предикатов совпадает с R ).

1)	x	0 x 2	ax	a	0 ;
2)	x	0,1 x 2		x a 0 ;
3)	x	7 x 2	ax	1	0 ;
4)	x	a ,a 1 x 2			x 2 0 .

9.Изобразите на диаграммах Эйлера-Венна мно-

Рис.1

Рис.2

Рис.3

E E

Рис.4

Рис.5

Рис.6

Рис.7

Рис.8

Рис.9

жества истинности для следующих предикатов:

P x & Q x ;

P x

Q x ;

P x

Q x R x & Q x ;

P x

Q x

Q x ;

P x & Q x

R x .

10. Изобразите на координатной плоскости множества истинности предикатов:


1)	x	2 & x			y ;
2)	x	y	x		1 ;
2)	x	y	x		1 ;
3)	x	3	y	5 ;
4)	x 2 & y 1 & x 1						y 2 ;
5)	x 2		y 1 & x			1	y	2 .

3. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ

3.1 Понятие алгоритма

Алгоритмом называется совокупность точно предписанных правил, определяющих вычислительный процесс, который идет от варьируемых исходных данных к искомому результату.

Например:

1)алгоритм умножения двух многозначительных чисел;

2)алгоритм извлечения квадратного корня;

3)алгоритм определения истинностного значения некоторого высказывания.

Характерные свойства алгоритмов:

1.Дискретность. Алгоритм описывает процесс последовательного построения величин, идущий в дискретном времени. Интервал времени, необходимый для вычисления, разбит на малые отрезки – такты. Система величин в конце каждого такта получается в результате осуществления элементарного шага алгоритма (определенной программы преобразований) – из системы величин, имеющихся в начале такта.

2.Детерминированность. Это означает, что программа преобразований в каждом такте однозначно определена.

3.Результативность. Каждый алгоритм направлен на получение определенного результата. В частности, если вычисляемая функция в данной точке не определена, то совокупность правил должно точно указать, что нужно считать результатом применения алгоритма в этом случае.

4.Массовость. Исходные величины могут варьироваться

вопределенных пределах. Это значит, что алгоритм служит не только для решения какой-либо одной конкретной задачи, а используется для решения целого класса задач. Процедуру решения одной конкретной задачи никогда не называют алгоритмом.

Понятие алгоритма, задаваемое его эмпирическими свойствами, не является строго математическим, поэтому оно называется интуитивным.

Интуитивное понятие алгоритма допустимо при положительном решении вопроса о существовании алгоритма. Теоремы о не существовании алгоритмов не могут быть доказаны ввиду нечеткости интуитивного понятия алгоритма. В этом случае требуется его уточнение. Существуют несколько подходов уточнения понятия алгоритма. Основаниями для них являются:

1)теория рекурсивных функций;

2)машины Тьюринга;

3)нормальный алгоритм Маркова.

В алгоритмических проблемах обычно рассматриваются алгоритмы, имеющие дело только с натуральными числами. Можно доказать, что это не является потерей общности, т. к. объекты другой природы можно закодировать натуральными числами. Для пользователей компьютеров такое утверждение является очевидным.

Пусть N – множество натуральных чисел. k-местными частичными функциями называются функции с областью оп-

ределения D f	N k	(k – целое положительное число) и обла-
стью значений	Rf	N . Слово «частичная» означает, что
функция определена на подмножестве N k .
Если Df	N k ,	то функция называется всюду определен-
ной.
k–местная частичная функция f: N k			N называется вы-

числимой, если существует алгоритм, вычисляющий f. Этот алгоритм должен удовлетворять следующим условиям:

1. Если	на выход	алгоритма поступает вектор
x (x1, , xk ) Df ,		то вычисление должно закон-
читься после конечного числа шагов и выдать значе-
ние	f (x) .

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1412 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.05.2022379.59 Кб1Учебное пособие 80051.pdf
#
01.05.20223.86 Mб6Учебное пособие 800510.pdf
#
01.05.20223.88 Mб4Учебное пособие 800511.pdf
#
01.05.20223.88 Mб20Учебное пособие 800512.pdf
#
01.05.20223.94 Mб4Учебное пособие 800513.pdf
#
01.05.20223.99 Mб6Учебное пособие 800514.pdf
#
01.05.20224 Mб6Учебное пособие 800515.pdf
#
01.05.20224 Mб5Учебное пособие 800516.pdf
#
01.05.20224.01 Mб9Учебное пособие 800517.pdf
#
01.05.20224.07 Mб15Учебное пособие 800518.pdf
#
01.05.20224.14 Mб14Учебное пособие 800519.pdf