Учебное пособие 800514

Штрих Шеффера A B (читается « A несовместно с

B »): A B = A & B .

Штрихом Шеффера двух высказываний A и B называется высказывание A B , которое ложно только тогда, когда оба высказывания истинны, и истинно в остальных случаях.

Стрелка Пирса (штрих Лукасевича) A B (читается

«ни A , ни B »): A B A B .

Стрелкой Пирса двух высказываний A и B называется высказывание A B , которое истинно только тогда, когда оба высказывания ложны, и ложно в остальных случаях.

Отметим, что все операции, кроме импликации, симметричны.

Из этих простых (элементарных) высказываний строятся составные (сложные) высказывания.

Пример 1 . Следующие высказывания записать формулами. Составить для них таблицы истинности.

a)Если Джон умен, а Джим глуп, то Джон получает приз.

b)Джон получает приз в том и только том случае, если Джон умен или если Джим глуп.

c)Если Джим глуп, и Джону не удается получить приз, то Джон не умен.

Решение. Обозначим простые высказывания буквами: A — Джон умен;

B — Джим глуп;

C — Джон получает приз.

Тогда составные высказывания запишем в виде формул:

Составим соответствующие им таблицы истинности:

Заметим, что здесь n 3 простых высказываний. Поэто-

му таблицы истинности содержат 2n 8 строк.

Приведем таблицу перевода некоторых (наиболее часто встречающихся) выражений естественного языка на символический язык алгебры логики высказываний.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Переведите на язык алгебры логики следующие высказывания:

a)Если светит солнце, то для того, чтобы не было дождя

идостаточно, чтобы дул ветер.

b)Неверно, что если дует ветер, то солнце светит только тогда, когда нет дождя.

c)Чтобы погода была солнечной, достаточно, чтобы не было ни ветра, ни дождя.

d)Если ветра нет, то для дождя необходима пасмурная

погода.

e)Если погода пасмурная и дует ветер, то дождя нет. Но дождь идет. Значит, нет ветра.

f)Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра.

g)Если для солнечной погоды необходимо отсутствие дождя, то для того, чтобы пошел дождь, достаточно, чтобы погода была пасмурной и безветренной.

Указание: для перевода на язык алгебры логики необходимо каждый раз предварительно выделить элементарные высказывания. Например: «светит солнце» можно обозначить буквой С, «дует ветер» — буквой В, «идет дождь» – буквой Д, «погода пасмурная» — буквой П.

2.Установите, истинно или ложно высказывание:

a) 2 x|2x3 3x 2 1 0, x R ;

3. Пусть p и q обозначают высказывания: p — «Я учусь в школе»,

q — «Я люблю математику». Прочтите следующие высказывания:

4. Пусть x , x , y, y означают соответственно «7

— простое число», «7 — составное число», «8 — простое число», «8 — составное число»:

a) какие из предложений x & y, x & y , x & y, x & yистинны и какие ложны ?;

b)то же с заменой конъюнкций на дизъюнкцию;

c)то же для предложений x , y , x , y .

2.2 Формулы алгебры высказываний

Формулой алгебры логики высказываний называется всякое составное высказывание, которое получается комбинированием конечного числа указанных выше основных операций ( ,&, , , ). Для любых формул можно построить

таблицу истинности.

Таблицей истинности формулы называется сводная таблица всех значений входящих в нее высказываний и соответствующих значений самой формулы. Таблица содержит

2n строк, где n — число простых высказываний.

Формула U называется тождественно истинной, или тавтологией (записывается U 1), если для всех наборов значений входящих в нее переменных (высказываний) она принимает значение 1 («истинно»).

Формула U называется тождественно ложной, или противоречием (записывается U 0 ), если для всех наборов значений входящих в нее переменных (высказываний) она принимает значение 0 («ложь»).

Заметим, что отрицание любой тавтологии есть противо-

речие: U 1 0 . Все остальные формулы называются вы-

полнимыми.

Две формулы алгебры логики U1 и U2 называются рав-

носильными, если они принимают одинаковые логические значения (0 или 1) при одинаковых наборах значений входя-

одновременно 1 при любом наборе значений высказываний, входящих в эти формулы.

Имеет место

Теорема: U1 U2 тогда и только тогда, когда

(U1 U2 ) 1 (доказать!).

Равносильность формул можно доказывать либо с помо-

щью таблиц истинности, либо методом равносильных (эк-

вивалентных) преобразований, используя основные равно-

сильности алгебры логики высказываний. Основные равносильности также применяются для упрощения формул, для приведения формул к заданному виду.

Основные равносильности алгебры высказываний

1.A A — закон двойного отрицания;

3.A & A 0 — закон противоречия;

тивности;

8.A&( B C ) ( A& B ) ( A&C ) — первый ди-

стрибутивный закон;

9.A ( B &C ) ( A B )&( A C ) — второй ди-

стрибутивный закон;

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

1. Проверить, не составляя таблиц истинности, являются ли следующие формулы тождественно истинными:

2.Составить таблицы истинности для формул: