Решение

Разность энтропий двух состояний 1 и 2 определим по формуле

(1)

Согласно первому началу термодинамики:

(2)

Здесь - молярная теплоемкость при постоянном объеме.

,

где i- число степеней свободы молекулы (для кислорода i=5).

Из уравнения Клайперона –Менделеева

,

тогда

(3)

Подставив числовые значения в (3) и вычислив, получим

.

Ответ: Дж/К.

Задача 2.6. Найти изменение энтропии при переходе 6г водорода от объема в 20л под давлением к объему в 60л под давлением в .

Дано: m=6г=0,006кг

Решение

По первому закону термодинамики

(1)

Применяя уравнение Клайперона- Менделеева

,

получим

(2)

Из уравнения Клайперона –Менделеева имеем

. (3)

Подставляя (3) в (2), получим:

, (4)

где - молярная теплоемкость водорода при постоянном объеме

- молярная теплоемкость водорода при постоянном давлении

Подставив числовые значения в выражение (4), получим

.

Ответ: Дж/К.

Задача 2.7. Водород массой m=100г был изобарно нагрет так, что объем его увеличился в n=3 раза, затем водород был изохорно охлажден так, что давление его уменьшилось в n=3 раза. Найти изменение энтропии в ходе указанных процессов.

Дано: m=100г=0,1кг а) n=3 б) n=3

Решение

Изменение энтропии в ходе указанных процессов будет складываться из изменения энтропии при и , т.е.

(1)

Изменение энтропии водорода в любом процессе можно определить по формуле

, (2)

где dQ – элементарное количество теплоты, полученное водородом при температуре T.

В случае изобарного нагревания, изменение энтропии будет равно

, (3)

где

. (4)

подставляя выражение (4) в (3), получим

(5)

По закону Гей-Люссака

(6)

Используя (6), выражение (5) приведем к виду

(7)

При изохорном охлаждении

(8)

где

(9)

С учетом (9) выражение (8) примет вид

(10)

По закону Шарля

(11)

С учетом (11) выражение (10) будет иметь вид

. (12)

Подставив (7) и (12) в (1), найдем

(13)

По условию задачи

и

тогда

следовательно,

.

Так как , то

. (14)

В условиях данной задачи

.

Ответ: Дж/К.

Задача 2.8. Определить изменение энтропии одного моля идеального газа в изобарном, изохорном и изотермическом процессах.

Решение

Физическая система – один моль идеального газа – участвует в трех различных изопроцессах. Эти процессы квазистатические и обратимые. Следовательно, изменение энтропии можно получить непосредственно по формуле

(1)

Для изобарного процесса

(2)

При постоянном давлении .

Для изохорного процесса

. (3)

При постоянном объеме .

Для изотермического процесса

. (4)

Ответ: ; .

Задача 2.9. Адиабатно изолированный сосуд разделен на две равные части жесткой и нетеплопроводной перегородкой (рисунок). В каждой половине сосуда находится по одному молю одинакового идеального трехатомного газа: в левой половине — при температуре , в правой — при температуре . Перегородку убирают. Определить изменение энтропии газа после того, как установится равновесное состояние.

Дано: i = 6 1=2= 1 моль T1=600 K T2= 300 K V1=V2=V0

Решение

Р ассмотрим три физические системы. Система I состоит из одного моля газа, находящегося в левой половине сосуда при температуре . До снятия перегородки она адиабатно изолирована и находится в равновесном состоянии. Система II состоит из одного моля такого же газа, находящегося в правой половине сосуда при температуре . До снятия перегородки она также адиабатно изолирована и находится в равновесном состоянии. Система III (общая) является объединением систем I и II. После снятия перегородки и в системе III и в каждой из систем I и II происходят не-квазистатические и необратимые процессы, в результате которых в них устанавливаются равновесные состояния. Так как возникающие процессы необратимы, то применять непосредственно формулу

для нахождения изменения энтропии системы III нельзя Необходимо найти такие процессы, в результате которых системы I и II из начального в то же конечное состояние перешли бы обратимым образом. Для этого необходимо нарушить первоначальную адиабатную изолированность систем I и II. Поставим вместо нетеплопроводящей идеально проводящую теплоту невесомую перегородку. Теперь системы I и II имеют тепловой контакт (они адиабатно не изолированы). В каждой системе происходит обратимый изохорный процесс (в левой - охлаждения, в правой - нагревания до температуры смеси ). Нетрудно найти конечную равновесную температуру. Если в результате теплообмена температура газа в левой части сосуда уменьшиться, так, что

,

то в правой части температура увеличится и

.

При выравнивании температур

,

тогда

и ,

следовательно

.

Теперь можно убрать и эту (теплопроводящую) перегородку. Так как обе подсистемы I и II находятся в термодинамическом равновесии при температуре , то и общая система III находится в равновесном состоянии. Заметим, если изохорные процессы в системах I и II можно считать обратимыми, то процесс теплопередачи в системе III нельзя считать обратимым. Обозначим и изменения энтропии систем I и II. Тогда изменение энтропии системы III

(2)

Для системы I

(3)

где - молярная теплоемкость газа при постоянном

объеме.

Для системы II

(4)

Так как , то а , т. е. энтропия системы I убывает, а энтропия системы II возрастает (вспомним, что эти системы, после того как была поставлена теплопроводящая перегородка, перестали быть адиабатно изолированными и энтропия каждой из них может и возрастать, и убывать). Общая система III остается адиабатно изолированной, и энтропия в ней в результате необратимого процесса должна возрастать. Действительно, и

(4)

Подставив числовые значения в выражение (5), получим

.

Таким образом, если количество теплоты переданной системой I, равно количеству теплоты полученной системой II , то изменение энтропии систем I по модулю не равно изменению энтропии системы II в этом же процессе теплопередачи .

Ответ: Дж/К.

Задача 2.10. Теплоизолированный сосуд разделен на две равные части перегородкой, в которой имеется закрывающееся и отверстие. В одной половине сосуда содержится m= 10 г водорода. Вторая половина откачана до высокого вакуума. Отверстие в перегородке открывают, и газ заполняет весь объем. Считая газ идеальным, найти приращение его энтропии.

Дано: dQ=0 m=10г=10-2кг M=210-3кг/моль

Решение

Расширение газа здесь является необратимым процессом. Поэтому было бы ошибкой применить формулу

(1)

для данного процесса. Так как газ теплоизолирован (dQ = 0), то по (1) получили бы

.

В действительности же, как это следует из второго начала термодинамики, энтропия газа при его необратимом расширении должна увеличиться.

Воспользуемся тем, что энтропия  функция состояния и ее изменение полностью определяется начальным и конечным состояниями системы, независимо от того процесса, в ходе которого система перешла из начального состояния в конечное. Поэтому представим такой процесс расширения газа, который переводил бы его в то же самое конечное состояние, но являлся бы обратимым процессом. Найдя по формуле (1) приращение энтропии в таком обратимом процессе, мы решим поставленную задачу.

Так как данный газ изолирован от окружающей среды (Q = 0, А = 0), то его внутренняя энергия U, как это следует из первого начала термодинамики, должна оставаться постоянной. При этом будет постоянной и температура идеального газа во время его расширения. Значит, в качестве обратимого процесса, переводящего газ в то же конечное состояние, что и данный процесс, можно рассматривать процесс обратимого изотермического расширения, в ходе которого объем газа увеличивается в два раза. Так как в этом процессе , и, следовательно, Q =А, получим ответ по (1) с учетом того, что в изотермическом процессе

(2)

При этом приращение энтропии будет равно

Подставив численные значения данных величин, получим

.

Ответ: Дж/К.