1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи

Числа Фибоначчи – это элементы числовой последовательности, в которой каждый последующий элемент равен сумме двух предыдущих. Т.е. последовательность чисел Фибоначчи задается рекуррентным уравнением:

Воспользуемся понятием производящей функции для выражения общего члена чисел Фибоначчи.

Возьмем в качестве последовательности базисных функций .

Ряд

сходится при и определяет производящую функцию

Помножив данное выражение на x и на , получим:

Сложив эти два выражения имеем:

Следовательно

.

Отсюда получается явный вид производящей функции

Корни знаменателя определяются из уравнения

Разложим F(x) на элементарные дроби, т.е.

Т.е. получим

Рассмотрим сумму бесконечно убывающих геометрических прогрессий

При

Следовательно

Отсюда

1.6. Z -–преобразование

1.6.1. Определение z – преобразования

При анализе и синтезе дискретных устройств широко используется Z–преобразование, играющее по отношению к дискретным сигналам такую же роль, как интегральное преобразование Фурье и Лапласа по отношению к непрерывным сигналам. Рассмотрим основы теории этого функционального преобразования и некоторые его свойства.

Одностороннее Z-преобразование последовательности x(n) определяется формулой:

где z – комплексная переменная , а n интерпретируется как дискретное время. Из этого определения следует, что Z- преобразование представляет собой частный случай производящей функции, в которой в качестве базисной используется последовательность

Рассмотрим ряд примеров.

Пример 1. Найти Z-преобразование единичного импульса.

Решение. Т.к.

Пример 2. Найти Z-преобразование единичного сигнала

Решение. В данном случае , для

Данный ряд представляет собой бесконечную сумму убывающей геометрической последовательности знаменатель который . Следовательно

сходится при

Пример 3. Найти Z– преобразование экспоненциальной последовательности

Решение. Вычисляя Z-преобразование, получим

сходится при

1.6.2. Обратное z – преобразование

Очень важно уметь переходить не только от последовательности к ее Z – преобразованию, но и обратно от Z–преобразования к последовательности. Последний переход формально определяется соотношением

В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.

Обратное Z-преобразование можно найти несколькими способами:

1. Прямым вычислением контурного интеграла с использованием теоремы о вычетах

2. Разложением на простые дроби

3. Обычным делителем числителя на его знаменатель.

4. Разложением в степенной ряд.

Мы ограничимся рассмотрением двух первых из них.

Первый способ основан на известной теореме из курса теории функций комплексного переменного, позволяющего вычислить контурный интеграл через вычеты.

Рассмотрим пример 4, в котором

В этом случае мы имеем простой полюс в точке . Следовательно: .

При использовании второго способа Z-преобразование записывается в виде суммы простых дробей

Т.к. каждое слагаемое имеет обратное Z-преобразование вида , получим

Например, рассмотрим выражение

Его можно записать в виде

В результате получаем