2.4. Автоматные функции и эксперименты с автоматами

2.4.1. Понятие ограниченно детерминированной функции

Пусть даны алфавиты: входной и выходной . Обозначим и как множества всех возможных последовательностей в алфавитах и соответственно.

Определение 1. Отображение → называется детерминированной функцией, если любой член выходная последовательности для любого однозначно определяется предшествующими значениями входной последовательности .

Функция, осуществляющая отображения двух входных последовательностей

будет детерминированной функцией, при условиях:

1) если , то и

2) если ,то .

Определение 2. Пусть задана детерминированная функция → . Пусть далее имеется произвольное входное слово . Функция при произвольной входной последовательности даёт следующий результат:

,

При этом вводится функция → , осуществляющая отображение

.

Она называется остаточной функцией по слову .

Определение 3. Детерминированная функция → называется ограниченно-детерминированной функцией, если у нее имеется лишь конечное число различных остаточных функций.

Рассмотрим автомат (A,S,B,φ, , ) где A,S,B — конечные алфавиты (входной, выходной и состояния), - переходная функция, - выходная и - начальное состояние.

Входом автомата служит последовательность (конечная или бесконечная), выходом автомата служит последовательность . При этом автомат задается системой канонических уравнений:

Определение 4. Отображение → называется автоматной функцией, если существует автомат, который реализует это отображение.

Справедливо утверждение: функция является автоматной тогда и только тогда, когда она ограниченно детерминированная.

Пример: Пусть задан автомат с алфавитами , а его система канонических уравнений выглядит следующим образом:

Такой автомат осуществляет отображение

и называется единичной задержкой. При этом последовательности входа, состояния и выхода меняются следующим образом

Таблица 12

	0	1	2	3
	0

2.4.2. Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки

Определение. Схемой из функциональных элементов и элементов задержки (СФЭЗ) называется схема, содержащая элементы некоторой функционально полной системы булевых функций, к которой добавлены элементы, реализующие функцию единичной задержки.

В СФЭЗ допускаются ориентированные циклы, но любой ориентированный цикл должен проходить хотя бы через одну задержку.

Заметим что, схема из функциональных элементов и задержки осуществляет автоматное отображение.

Определение. Пусть автоматная функция отображает последовательность конечного базиса в последовательность конечного базиса . При \этом СФЭЗ Σ осуществляет преобразование последовательностей булевых векторов длины в последовательности булевых векторов длины . Говорят, что Σ моделирует , если существуют отображения (кодировки) и , которые сопоставляют разным элементам алфавита разные векторы. Отображения и таковы, что если , то при любой последовательности из алфавита

Здесь использовано обозначение .

Следует иметь ввиду, что для любого конечного автомата существует моделирующая его СФЭЗ в функционально полной системе, содержащей элементы дизъюнкции, конъюнкции, отрицания, а также элемента задержки.

Для осуществления такого моделирования необходимо задать конечный автомат системой булевых функций.

Алгоритм задания конечного автомата системой булевых функций.

1. Находим число разрядов, необходимых для двоичного представления чисел , и . Соответствующие числа находятся из условий - ; ; .

2. Кодирование состояний, входных и выходных символов исходного автомата. Каждому состоянию ставится в соответствие двоичная последовательность длины - двоичный код . Аналогично каждому и каждому ставятся в соответствие двоичные последовательности . Отметим, что кодирование может быть осуществлено различными способами. При этом может оказаться, что некоторые коды не используются.

3. Составляется следующая таблица:

Таблица 13

Код входного сигнала				Код текущего состояния				Код следующего состояния				Код выходного сигнала
		…				…				…				…
0	0	…	0	0	0	…	0
1	1		1	1	1		1

4. Заполнение двух последних столбцов таблицы. Для каждой пары находятся коды и . Исходя из описания конечного автомата определяются и . Затем находится код и код . В строку таблицы, соответствующую набору дописывается набор .

5. Определение системы булевых функций. После выполнения предыдущего шага может оказаться, что не все строки в таблице заполнены. Это произойдёт в том случае, когда хотя бы одно из чисел не является степенью 2. Таким образом, функции окажутся не полностью определёнными. Их можно доопределить произвольным образом. Но обычно их доопределяют так, чтобы они имели минимальные ДНФ или КНФ. После выполнения этого шага исходный автомат будет задаваться системой полностью определённых булевых функций

.