- •Часть 2
- •Часть 2
- •Введение
- •1. Элементы комбинаторики
- •1.1. Простейшие комбинаторные конфигурации
- •Основные правила комбинаторики
- •Выборки элементов без повторений
- •Выборки элементов с повторениями
- •Латинские прямоугольники, конечные проективные плоскости и блок-схемы
- •1.2.1. Латинские прямоугольники
- •1.2.2. Конечные проективные плоскости
- •1.2.3. Блок-схемы
- •Формула включений и исключений
- •Объединение комбинаторных конфигураций
- •1.3.2. Принцип включения и исключения
- •1.3.3. Число булевых функций, существенно зависящих от всех своих переменных
- •1.3.4. Решето Эратосфена
- •Рекуррентные уравнения
- •1.4.1. Определение рекуррентного уравнения
- •1.4.2. Решение линейного однородного рекуррентного уравнения
- •1 (2) .4.3. Решение линейного неоднородного рекуррентного уравнения
- •1.5. Производящие функции
- •1.5.1. Общие сведения о производящих функциях
- •1.5.2. Производящая функция для биноминальных коэффициентов
- •1.5.3. Производящая функция для чисел Фибоначчи
- •1.6.1. Определение z – преобразования
- •1.6.2. Обратное z – преобразование
- •В правой части этого равенства стоит контурный интеграл в z-плоскости по любому замкнутому контуру в области сходимости, охватывающему начало координат.
- •1.6.3. Свойства z-преобразования
- •1.6.4. Использование z-преобразований для решения рекуррентных уравнений
- •1.6.5. Таблица односторонних z-преобразований
- •1.7. Трансверсали и перманенты
- •1.7.1. Множества и мультимножества
- •1.7.2. Трансверсали
- •1.7.3. Пермамент матрицы
- •1.7.4. Число трансверсалей
- •1.8. Матрицы Адамара
- •1.8.1. Определение матрицы Адамара и ее свойства
- •1.8.2. Эквивалентные преобразования матриц Адамара
- •1.8.3. Построение матриц Адамара
- •2. Основы теории конечных автоматов
- •2.1. Понятие конечного автомата
- •2.1.1. Общие сведения о конечных автоматах
- •2.1.2. Абстрактное определение конечного автомата
- •2.2. Эквивалентности в автоматах
- •2.2.1. Основные определения
- •2.2.2. Покрытия и морфизмы
- •2.2.3. Эквивалентные состояния автоматов
- •2.3. Процедура минимизации конечных автоматов
- •2.4. Автоматные функции и эксперименты с автоматами
- •2.4.1. Понятие ограниченно детерминированной функции
- •2.4.2. Моделирование автоматной функции с помощью схемы из функциональных элементов и задержки
- •2.4.3. Пример реализации конечного автомата с помощью сфэз
- •2.4.4. Эксперименты с автоматами
- •2.5. Автоматные языки
- •2.5.1. Представление о формальных языках
- •2.5.2. Алфавит, слово, язык
- •2.5.3. Классификация грамматик и языков
- •2.5.4. Понятие формальной грамматики
- •2.5.5. Автоматные грамматики
- •2.6. Модификации конечных автоматов
- •2.6.1. Частичные автоматы
- •2.6.2. Понятия недетерминированного и вероятностного автоматов
- •2.7. Процедура минимизации частичного автомата
- •2.7.1. Совместимые состояния
- •2.7.2. Техника определения совместимых состояний
- •2.7.3. Построение минимального автомата
- •3. Введение в нечеткую математику
- •3.1. Нечёткие множества
- •3.2. Нечеткие отношения
- •3.3. Нечеткая логика
- •Заключение
- •Библиографический список
- •Оглавление
- •2.7.3. Построение минимального автомата 98
- •Часть 2
- •394026 Воронеж, Московский просп., 14
- •Часть 2
1.8. Матрицы Адамара
1.8.1. Определение матрицы Адамара и ее свойства
Матрица H=(hij), i,j=1,2,_,n, hij= 1 называется матрицей Адамара, если она удовлетворяет равенству
HHT= nIn (1)
где In – единичная матрица n n и – транспонированная матрица H.
Матричное равенство (1) может быть записано в виде:
= (2)
Следовательно, если H1,H2,..,Hn – строки матрицы H, то эти строки, как векторы, удовлетворяют условию ортогональности
( ) = (3)
где ( ) - скалярное произведение векторов и .
Из матричного равенства (1) следует , что
det(HHT) = (detH)2 = det(nIn) = nn
и, следовательно, |detH| = nn/2.
А это означает что detH 0 и, следовательно, матрица H – невырожденная. Это, в свою очередь, говорит о том, что для матрицы H существует обратная ей матрица H-1. Запишем следующую систему равенств.
HTH =H-1 HHTH =H-1(nIn)H = nIn = HHT
Следовательно, матрица H удовлетворяет условию нормальности, то есть
HTH = HHT
1.8.2. Эквивалентные преобразования матриц Адамара
Перестановки строк или столбцов, а так же умножение строк или столбцов на (-1) переводит матрицу Адамара H в эквивалентную матрицу Адамара H1. Действительно, перестановка строк матрицы H, в соответствии, с (3) сохраняет все скалярные произведения строк. Перестановка столбцов связана с изменением порядка слагаемых в формуле (2). Аналогичным образом не изменяются в соответствии с (2) скалярные произведения строк или столбцов при умножении на (-1). С помощью эквивалентных преобразований матрицу Адамара можно привести к нормализованному виду , в котором первая строка и первый столбец состоят из положительных единиц. Нормализованными матрицами Адамара 1-го и 2-го порядков являются
H1 = (1), H2 = (4)
Рассмотрим нормализованную матрицу Адамара порядка n . Для этого построим матрицу , образованную первыми тремя строками матрицы . Столбцы матрицы могут быть следующих четырех видов
, , ,
Обозначим через x, y, z и w – число столбцов матрицы каждого из 4 видов соответственно. Тогда из условия ортогональности строк (3) получаем систему уравнений
x + t + z + w = n (1x1)
x – y + z – w = 0 (1x2)
x + y – z – w = 0 (1x3)
x – y – z + w = 0 (2x3)
Данная система уравнений имеет единственное решение
x = y = z = w =
Таким образом при n имеем n = 4 , где – натуральное число.
Например, случай n=3 исключается, так как два вектора размерности 3 с координатами не могут быть ортогональными.
Таким образом, матрицы Адамара могут существовать для всех порядков, кратных четырем. Для их построения используются разнообразные методы. Так, для n матрицы Адамара были построены для всех порядков, кратных 4 за исключением n = 116, 156, 188.
1.8.3. Построение матриц Адамара
Рассмотрим способ построения матриц Адамара исходя из матриц Адамара меньшего порядка.
Кронекеровым произведением матрицы A = (aij) i,j=1,2,..,m на матрицу B = (bij) i,j = 1,2,..,n называется (mn ) матрица вида = (aijB), i,j=1,2,..,m.
Имеют место следующие свойства кронекерова произведения матриц (исходя из определения):
, где – скаляр.
.
.
.
.
Здесь A,A1,A2,C и B,B1,B2,D – матрицы порядков m и n соответственно.
Теорема. Кронекерово произведение матриц Адамара порядков m и n есть матрица Адамара порядка mn.
Доказательство. Пусть Hm и Hn – матрицы Адамара порядков m и n соответственно. Тогда для их кронекерова произведения имеем
= .
Отсюда в соответствии с (1) следует, что Hmn есть матрица Адамара порядка mn.
Следствие. Для любого матрица Адамара существует
Действительно при матрица
(d раз), где H2 – матрица вида (4). Согласно теореме она есть матрица Адамара.